MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeIdentități algebrice
Pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} se definește operația ∘\circ prin z∘w=z+w−i⋅z⋅wz \circ w = z + w - i \cdot z \cdot w, unde ii este unitatea imaginară. a) Demonstrați că operația ∘\circ este asociativă. b) Găsiți elementul neutru e∈Ce \in \mathbb{C}. c) Pentru care numere complexe zz există invers față de operația ∘\circ? Exprimați inversul în funcție de zz. d) Verificați dacă operația ∘\circ este comutativă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru asociativitate, calculăm (z∘w)∘u=(z+w−izw)∘u=z+w+u−izw−izu−iwu+i2zwu=z+w+u−i(zw+zu+wu)−zwu(z \circ w) \circ u = (z + w - i zw) \circ u = z + w + u - i zw - i zu - i wu + i^2 zwu = z + w + u - i(zw + zu + wu) - zwu și z∘(w∘u)=z∘(w+u−iwu)=z+w+u−iwu−izw−izu+i2zwu=z+w+u−i(zw+zu+wu)−zwuz \circ (w \circ u) = z \circ (w + u - i wu) = z + w + u - i wu - i zw - i zu + i^2 z wu = z + w + u - i(zw + zu + wu) - zwu, deci sunt egale.
22 puncte
Elementul neutru ee satisface z∘e=zz \circ e = z. Rezolvăm z+e−ize=z⇒e(1−iz)=0z + e - i ze = z \Rightarrow e(1 - i z) = 0; pentru zz arbitrar, e=0e = 0 satisface, și verificăm 0∘z=0+z−i⋅0⋅z=z0 \circ z = 0 + z - i \cdot 0 \cdot z = z, deci e=0e = 0 este element neutru.
33 puncte
Inversul z′z' satisface z∘z′=0z \circ z' = 0. Rezolvăm z+z′−izz′=0⇒z′(1−iz)=−zz + z' - i z z' = 0 \Rightarrow z'(1 - i z) = -z; dacă 1−iz≠01 - i z \neq 0, adică z≠−iz \neq -i, atunci z′=ziz−1z' = \frac{z}{i z - 1}.
42 puncte
Comutativitatea: z∘w=z+w−izw=w+z−iwz=w∘zz \circ w = z + w - i zw = w + z - i wz = w \circ z, deci operația este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.