MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {mx+y+z=1x+my+z=mx+y+mz=m2\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}, unde mm este un parametru real. a) Discutați, în funcție de mm, compatibilitatea sistemului. b) Pentru m=2m=2, rezolvați sistemul folosind metoda matriceală, calculând inversa matricei coeficienților.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie matricea coeficienților C=(m111m111m)C = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} și se calculează determinantul det⁡(C)=m3−3m+2\det(C) = m^3 - 3m + 2. Se factorizează: det⁡(C)=(m−1)2(m+2)\det(C) = (m-1)^2(m+2).
23 puncte
Se discuta compatibilitatea: dacă det⁡(C)≠0\det(C) \neq 0, adică m≠1m \neq 1 și m≠−2m \neq -2, sistemul are soluție unică (este compatibil determinat). Pentru m=1m=1, sistemul devine x+y+z=1x+y+z=1 (toate ecuațiile identice), deci are infinitate de soluții (compatibil nedeterminat). Pentru m=−2m=-2, se calculează rangurile matricilor și se constată că sistemul este incompatibil.
32 puncte
Pentru m=2m=2, se calculează inversa matricei CC folosind metoda adjunctei: det⁡(C)=(2−1)2(2+2)=4\det(C) = (2-1)^2(2+2) = 4, apoi se găsește matricea adjunctă și C−1=14(3−1−1−13−1−1−13)C^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
42 puncte
Se rezolvă sistemul pentru m=2m=2: termenii liberi sunt B=(124)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}, deci soluția X=C−1⋅B=14(3−1−1−13−1−1−13)⋅(124)=14(−339)=(−343494)X = C^{-1} \cdot B = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} \\ \frac{9}{4} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.