MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere Complexe
Folosind forma trigonometrică a numerelor complexe, demonstrați identitatea cos⁡(3θ)=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta pentru orice θ∈R\theta \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta sub forma z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta (forma trigonometrică este implicită).
23 puncte
Aplicați formula lui de Moivre pentru a calcula z3=(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡(3θ)+isin⁡(3θ)z^3 = (\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos(3\theta) + i\sin(3\theta).
34 puncte
Dezvoltați z3z^3 folosind binomul lui Newton: z3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θz^3 = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta \sin\theta - 3\cos\theta \sin^2\theta - i\sin^3\theta. Separați partea reală și imaginară, apoi folosiți identitatea sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta pentru a obține partea reală ca 4cos⁡3θ−3cos⁡θ4\cos^3\theta - 3\cos\theta. Comparați cu cos⁡(3θ)\cos(3\theta) din formula lui de Moivre pentru a deduce identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.