MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=12x−y+3z=53x+y+2z=4\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 5 \\ 3x + y + 2z = 4 \end{cases} a) Scrieți matricea extinsă a sistemului. b) Aflați rangul matricei coeficienților. c) Rezolvați sistemul folosind metoda lui Cramer sau inversa matricei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Matricea extinsă este (12−1∣12−13∣5312∣4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 1 \\ 2 & -1 & 3 & | & 5 \\ 3 & 1 & 2 & | & 4 \end{pmatrix}.
23 puncte
Matricea coeficienților este C=(12−12−13312)C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(C)=1⋅(−1⋅2−3⋅1)−2⋅(2⋅2−3⋅3)+(−1)⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=1⋅(−2−3)−2⋅(4−9)+(−1)⋅(2+3)=1⋅(−5)−2⋅(−5)+(−1)⋅5=−5+10−5=0\det(C) = 1 \cdot (-1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot 3) + (-1) \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 1 \cdot (-2 - 3) - 2 \cdot (4 - 9) + (-1) \cdot (2 + 3) = 1 \cdot (-5) - 2 \cdot (-5) + (-1) \cdot 5 = -5 + 10 - 5 = 0. Deoarece det⁡(C)=0\det(C) = 0, rangul este mai mic decât 3. Calculăm minorii de ordinul 2; de exemplu, ∣122−1∣=1⋅(−1)−2⋅2=−1−4=−5≠0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 = -1 - 4 = -5 \neq 0, deci rangul este 2.
35 puncte
Sistemul are rangul matricei coeficienților 2. Verificăm rangul matricei extinse: considerăm primele două linii ale matricei extinse, care formează o matrice de rang 2 (deoarece minorul de ordinul 2 este nenul). A treia ecuație trebuie să fie compatibilă. Din primele două ecuații, avem {x+2y−z=12x−y+3z=5\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x - y + 3z = 5 \end{cases}. Exprimăm zz din prima ecuație: z=x+2y−1z = x + 2y - 1. Înlocuind în a doua: 2x−y+3(x+2y−1)=5⇒2x−y+3x+6y−3=5⇒5x+5y=8⇒x+y=852x - y + 3(x + 2y - 1) = 5 \Rightarrow 2x - y + 3x + 6y - 3 = 5 \Rightarrow 5x + 5y = 8 \Rightarrow x + y = \frac{8}{5}. Apoi z=x+2y−1=(x+y)+y−1=85+y−1=y−35z = x + 2y - 1 = (x + y) + y - 1 = \frac{8}{5} + y - 1 = y - \frac{3}{5}. Sistemul are o infinitate de soluții; alegem y=ty = t ca parametru, atunci x=85−tx = \frac{8}{5} - t, z=t−35z = t - \frac{3}{5}. Soluțiile sunt x=85−tx = \frac{8}{5} - t, y=ty = t, z=t−35z = t - \frac{3}{5}, cu t∈Rt \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.