MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateStudiul funcțiilorAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}. Studiați monotonia funcției și determinați asimptotele sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivata funcției: f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+3)(x−1)2=2x2−4x+2−x2+2x−3(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 4x + 2 - x^2 + 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}.
23 puncte
Aflați punctele critice: f′(x)=0⇒x2−2x−1=0⇒x=1±2f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}. Excluind x=1x=1 care nu este în domeniu, punctele critice sunt x1=1−2x_1 = 1 - \sqrt{2} și x2=1+2x_2 = 1 + \sqrt{2}.
33 puncte
Studiați semnul derivatei: Pentru x<1−2x < 1 - \sqrt{2}, f′(x)>0f'(x) > 0; pentru 1−2<x<11 - \sqrt{2} < x < 1, f′(x)<0f'(x) < 0; pentru 1<x<1+21 < x < 1 + \sqrt{2}, f′(x)<0f'(x) < 0; pentru x>1+2x > 1 + \sqrt{2}, f′(x)>0f'(x) > 0. Deci, ff este crescătoare pe (−∞,1−2](-\infty, 1 - \sqrt{2}] și [1+2,∞)[1 + \sqrt{2}, \infty), și descrescătoare pe [1−2,1)[1 - \sqrt{2}, 1) și (1,1+2](1, 1 + \sqrt{2}].
42 puncte
Determinați asimptotele: Asimptota verticală: x=1x=1 deoarece lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty. Asimptota oblică: y=mx+ny = mx + n, unde m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=−1n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = -1, deci y=x−1y = x - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.