MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 termenii unei progresii geometrice de numere complexe, cu z1=2+3iz_1 = 2 + 3i și z3=−1+7iz_3 = -1 + 7i. Determinați rația qq a progresiei și calculați modulul sumei ∣z1+z2+z3∣|z_1 + z_2 + z_3|.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din definiția progresiei geometrice, z3=z1⋅q2z_3 = z_1 \cdot q^2. Se calculează q2=z3z1=−1+7i2+3i=1+2iq^2 = \frac{z_3}{z_1} = \frac{-1 + 7i}{2 + 3i} = 1 + 2i prin împărțirea numerelor complexe.
23 puncte
Se rezolvă ecuația q2=1+2iq^2 = 1 + 2i presupunând q=a+biq = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Se obține sistemul: a2−b2=1a^2 - b^2 = 1 și 2ab=22ab = 2. Soluțiile sunt q=1+iq = 1 + i sau q=−1−iq = -1 - i.
33 puncte
Pentru q=1+iq = 1 + i, z2=z1⋅q=(2+3i)(1+i)=−1+5iz_2 = z_1 \cdot q = (2+3i)(1+i) = -1 + 5i, iar z1+z2+z3=(2+3i)+(−1+5i)+(−1+7i)=0+15iz_1 + z_2 + z_3 = (2+3i) + (-1+5i) + (-1+7i) = 0 + 15i, deci ∣z1+z2+z3∣=15|z_1 + z_2 + z_3| = 15. Pentru q=−1−iq = -1 - i, z2=(2+3i)(−1−i)=1−5iz_2 = (2+3i)(-1-i) = 1 - 5i, iar suma este (2+3i)+(1−5i)+(−1+7i)=2+5i(2+3i) + (1-5i) + (-1+7i) = 2 + 5i, cu modulul 29\sqrt{29}. Se prezintă ambele cazuri.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.