MediuMatriciClasa 12

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiGrupuri
Fie mulțimea H={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}H = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Arătați că HH împreună cu operația de înmulțire a matricelor formează un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Demonstrați că pentru orice A,B∈HA, B \in H, avem A⋅B∈HA \cdot B \in H; calculați det⁡(A⋅B)=det⁡(A)⋅det⁡(B)=1⋅1=1\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) = 1 \cdot 1 = 1, deci A⋅B∈HA \cdot B \in H.
22 puncte
Arătați că înmulțirea matricelor este asociativă pe HH, deoarece este asociativă în general pentru matrice.
32 puncte
Identificați matricea identitate I2=(1001)I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ca element neutru; verificați că det⁡(I2)=1\det(I_2) = 1 și A⋅I2=I2⋅A=AA \cdot I_2 = I_2 \cdot A = A pentru orice A∈HA \in H.
43 puncte
Pentru fiecare A∈HA \in H, demonstrați că există A−1∈HA^{-1} \in H; deoarece det⁡(A)=1≠0\det(A) = 1 \neq 0, AA este inversabilă și A−1A^{-1} are det⁡(A−1)=1/det⁡(A)=1\det(A^{-1}) = 1/\det(A) = 1, deci A−1∈HA^{-1} \in H.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.