MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeProgresii GeometriceTrigonometrie
Se consideră trei numere complexe z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 care sunt în progresie geometrică. Dacă z1=1+iz_1 = 1 + i și ∣z3∣=22|z_3| = 2\sqrt{2}, iar argumentul principal al lui z3z_3 este 3π4\frac{3\pi}{4}, să se determine z2z_2 și rația progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Fie qq rația progresiei geometrice, deci z2=qz1z_2 = q z_1 și z3=q2z1z_3 = q^2 z_1.
24 puncte
Calculăm ∣z1∣=12+12=2|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} și arg⁡(z1)=π4\arg(z_1) = \frac{\pi}{4}. Din ∣z3∣=∣q∣2∣z1∣=∣q∣22=22|z_3| = |q|^2 |z_1| = |q|^2 \sqrt{2} = 2\sqrt{2}, obținem ∣q∣2=2|q|^2 = 2, deci ∣q∣=2|q| = \sqrt{2}. Din arg⁡(z3)=2arg⁡(q)+arg⁡(z1)=2arg⁡(q)+π4=3π4\arg(z_3) = 2\arg(q) + \arg(z_1) = 2\arg(q) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}, rezultă 2arg⁡(q)=π22\arg(q) = \frac{\pi}{2}, deci arg⁡(q)=π4\arg(q) = \frac{\pi}{4} (considerând argumentul principal pentru qq).
34 puncte
Astfel, q=∣q∣(cos⁡arg⁡(q)+isin⁡arg⁡(q))=2(cos⁡π4+isin⁡π4)=2⋅22(1+i)=1+iq = |q| (\cos \arg(q) + i \sin \arg(q)) = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i) = 1+i. Atunci z2=qz1=(1+i)(1+i)=1+2i+i2=2iz_2 = q z_1 = (1+i)(1+i) = 1 + 2i + i^2 = 2i. Verificăm: z3=q2z1=(1+i)2(1+i)=(2i)(1+i)=2i+2i2=−2+2iz_3 = q^2 z_1 = (1+i)^2 (1+i) = (2i)(1+i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i, care are ∣z3∣=(−2)2+22=8=22|z_3| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} și arg⁡(z3)=3π4\arg(z_3) = \frac{3\pi}{4}, confirmând soluția.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.