MediuTrigonometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Folosind reprezentarea numerelor complexe sub formă trigonometrică, demonstrați identitatea sin⁡5θ=16sin⁡5θ−20sin⁡3θ+5sin⁡θ\sin 5\theta = 16\sin^5\theta - 20\sin^3\theta + 5\sin\theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta și aplicați formula lui De Moivre: zn=cos⁡nθ+isin⁡nθz^n = \cos n\theta + i\sin n\theta.
23 puncte
Pentru n=5n=5, calculați z5z^5 folosind binomul lui Newton: (cos⁡θ+isin⁡θ)5=∑k=05(5k)cos⁡5−kθ(isin⁡θ)k(\cos\theta + i\sin\theta)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \cos^{5-k}\theta (i\sin\theta)^k.
33 puncte
Separați partea reală și imaginară. Partea imaginară este sin⁡5θ\sin 5\theta.
42 puncte
Egalând coeficienții, obțineți sin⁡5θ=16sin⁡5θ−20sin⁡3θ+5sin⁡θ\sin 5\theta = 16\sin^5\theta - 20\sin^3\theta + 5\sin\theta.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.