MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciNumere Complexe
Fie matricea C=(i1+i1−i−i)C = \begin{pmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați C2C^2 și demonstrați că C4=I2C^4 = I_2, unde I2I_2 este matricea identitate de ordinul 2. b) Determinați toate numerele complexe zz pentru care matricea C−zI2C - zI_2 este singulară. c) Folosind rezultatul de la b), găsiți valorile proprii ale matricei CC.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul lui C2C^2: C2=(i1+i1−i−i)⋅(i1+i1−i−i)=(i⋅i+(1+i)(1−i)i(1+i)+(1+i)(−i)(1−i)i+(−i)(1−i)(1−i)(1+i)+(−i)(−i))=(−1+(1−i2)i+i2−i−i2i−i2−i+i21−i2+i2)=(−1+2002−1)=(1001)=I2C^2 = \begin{pmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} i & 1+i \\ 1-i & -i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i \cdot i + (1+i)(1-i) & i(1+i) + (1+i)(-i) \\ (1-i)i + (-i)(1-i) & (1-i)(1+i) + (-i)(-i) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + (1 - i^2) & i + i^2 - i - i^2 \\ i - i^2 - i + i^2 & 1 - i^2 + i^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 2 & 0 \\ 0 & 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2. Deci C2=I2C^2 = I_2, și C4=(C2)2=I22=I2C^4 = (C^2)^2 = I_2^2 = I_2.
24 puncte
Matricea C−zI2=(i−z1+i1−i−i−z)C - zI_2 = \begin{pmatrix} i-z & 1+i \\ 1-i & -i-z \end{pmatrix}. Calculăm determinantul: det⁡(C−zI2)=(i−z)(−i−z)−(1+i)(1−i)=(−z2−iz+iz+i2)−(1−i2)=(−z2−1)−(1+1)=−z2−1−2=−z2−3\det(C - zI_2) = (i-z)(-i-z) - (1+i)(1-i) = (-z^2 - iz + iz + i^2) - (1 - i^2) = (-z^2 - 1) - (1 + 1) = -z^2 - 1 - 2 = -z^2 - 3. Impunem det⁡(C−zI2)=0\det(C - zI_2) = 0: −z2−3=0⇒z2=−3⇒z=±i3-z^2 - 3 = 0 \Rightarrow z^2 = -3 \Rightarrow z = \pm i\sqrt{3}.
33 puncte
Valorile proprii ale lui CC sunt soluțiile ecuației det⁡(C−λI2)=0\det(C - \lambda I_2) = 0, care coincide cu ecuația de la punctul b) pentru z=λz = \lambda. Astfel, valorile proprii sunt λ1=i3\lambda_1 = i\sqrt{3} și λ2=−i3\lambda_2 = -i\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.