MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ex(x2−4x+3)f(x) = e^{x} (x^2 - 4x + 3). Să se determine intervalele de monotonie, punctele de extrem local, și să se demonstreze că funcția are exact două rădăcini reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm derivata: f′(x)=ex(x2−4x+3)+ex(2x−4)=ex(x2−2x−1)f'(x) = e^{x}(x^2 - 4x + 3) + e^{x}(2x - 4) = e^{x}(x^2 - 2x - 1). Rezolvăm f′(x)=0⇒x2−2x−1=0⇒x=1±2f'(x)=0 \Rightarrow x^2 - 2x - 1=0 \Rightarrow x=1\pm\sqrt{2}.
23 puncte
Studiul semnului derivatei: pentru x<1−2x<1-\sqrt{2}, f′(x)>0f'(x)>0 (deoarece x2−2x−1>0x^2-2x-1>0), deci ff crescătoare; pentru 1−2<x<1+21-\sqrt{2} < x < 1+\sqrt{2}, f′(x)<0f'(x)<0, ff descrescătoare; pentru x>1+2x>1+\sqrt{2}, f′(x)>0f'(x)>0, ff crescătoare. Punctele x=1−2x=1-\sqrt{2} și x=1+2x=1+\sqrt{2} sunt puncte critice, cu x=1−2x=1-\sqrt{2} maxim local și x=1+2x=1+\sqrt{2} minim local.
34 puncte
Demonstrația că are exact două rădăcini reale: Calculăm lim⁡x→−∞f(x)=0−\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0^-, f(1−2)>0f(1-\sqrt{2}) >0, f(1+2)<0f(1+\sqrt{2}) <0, și lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. Prin teorema lui Bolzano și monotonie, există exact o rădăcină în (−∞,1−2)(-\infty, 1-\sqrt{2}) și exact una în (1+2,+∞)(1+\sqrt{2}, +\infty), deci total două rădăcini reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.