MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab, pentru orice a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Arătați că legea este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru al acestei legi. c) Aflați elementele inversabile și inversul fiecăruia. d) Rezolvați ecuația x∗(2∗x)=3x * (2 * x) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: a∗b=a+b−ab=b+a−ba=b∗aa * b = a + b - ab = b + a - ba = b * a, deci legea este comutativă.
23 puncte
Verificarea asociativității: (a∗b)∗c=(a+b−ab)∗c=a+b−ab+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a * b) * c = (a + b - ab) * c = a + b - ab + c - (a + b - ab)c = a + b + c - ab - ac - bc + abc și a∗(b∗c)=a∗(b+c−bc)=a+b+c−bc−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca * (b * c) = a * (b + c - bc) = a + b + c - bc - a(b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc, deci (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c), asociativă.
32 puncte
Găsirea elementului neutru ee: din a∗e=aa * e = a rezultă a+e−ae=a⇒e(1−a)=0a + e - ae = a \Rightarrow e(1 - a) = 0 pentru orice aa, deci e=0e=0. Verificare: a∗0=aa * 0 = a.
42 puncte
Determinarea elementelor inversabile: pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, aa este inversabil dacă există bb cu a∗b=0a * b = 0. a+b−ab=0⇒b(1−a)=−a⇒b=aa−1a + b - ab = 0 \Rightarrow b(1 - a) = -a \Rightarrow b = \frac{a}{a-1} pentru a≠1a \neq 1; dacă a=1a=1, nu există invers.
51 punct
Rezolvarea ecuației: x∗(2∗x)=3x * (2 * x) = 3. Calculăm 2∗x=2+x−2x=2−x2 * x = 2 + x - 2x = 2 - x. Atunci x∗(2−x)=x+(2−x)−x(2−x)=2−2x+x2=x2−2x+2x * (2 - x) = x + (2 - x) - x(2 - x) = 2 - 2x + x^2 = x^2 - 2x + 2. Ecuația devine x2−2x+2=3⇒x2−2x−1=0⇒x=1±2x^2 - 2x + 2 = 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.