MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciVectoriInducție matematică
Fie matricea de rotație R(θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}. a) Verificați că R(θ)TR(θ)=I2R(\theta)^T R(\theta) = I_2 pentru orice θ∈R\theta \in \mathbb{R}. b) Demonstrați prin inducție matematică că R(θ)n=R(nθ)R(\theta)^n = R(n\theta) pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. c) Aplicați rotația cu θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} vectorului v⃗=i⃗−2j⃗\vec{v} = \vec{i} - 2\vec{j} și determinați coordonatele vectorului rotit.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează transpusa R(θ)T=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)R(\theta)^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} și se efectuează înmulțirea R(θ)TR(θ)R(\theta)^T R(\theta), obținând (cos⁡2θ+sin⁡2θ00cos⁡2θ+sin⁡2θ)=I2\begin{pmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{pmatrix} = I_2.
24 puncte
Pentru n=1n=1, R(θ)1=R(θ)=R(1⋅θ)R(\theta)^1 = R(\theta) = R(1\cdot\theta), deci proprietatea este adevărată. Se presupune că R(θ)k=R(kθ)R(\theta)^k = R(k\theta) pentru un k∈N∗k \in \mathbb{N}^*. Atunci R(θ)k+1=R(θ)kR(θ)=R(kθ)R(θ)=(cos⁡kθ−sin⁡kθsin⁡kθcos⁡kθ)(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)=(cos⁡(kθ+θ)−sin⁡(kθ+θ)sin⁡(kθ+θ)cos⁡(kθ+θ))=R((k+1)θ)R(\theta)^{k+1} = R(\theta)^k R(\theta) = R(k\theta) R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos k\theta & -\sin k\theta \\ \sin k\theta & \cos k\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(k\theta + \theta) & -\sin(k\theta + \theta) \\ \sin(k\theta + \theta) & \cos(k\theta + \theta) \end{pmatrix} = R((k+1)\theta), folosind formule trigonometrice.
33 puncte
Se calculează R(π4)=22(1−111)R\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Vectorul v⃗\vec{v} are coordonatele (1−2)\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. Înmulțind: 22(1−111)(1−2)=22(1⋅1+(−1)⋅(−2)1⋅1+1⋅(−2))=22(3−1)=(322−22)\frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}, deci coordonatele vectorului rotit sunt (322,−22)\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.