MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația log⁡3(x2−4x)+log⁡13(x−2)=2\log_3(x^2 - 4x) + \log_{\frac{1}{3}}(x-2) = 2 în mulțimea numerelor reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinați domeniul de definiție: pentru log⁡3(x2−4x)\log_3(x^2 - 4x), avem x2−4x>0x^2 - 4x > 0, adică x(x−4)>0x(x-4) > 0, deci x<0x < 0 sau x>4x > 4; pentru log⁡13(x−2)\log_{\frac{1}{3}}(x-2), avem x−2>0x-2 > 0, deci x>2x > 2. Intersectând, domeniul este x>4x > 4.
24 puncte
Folosiți schimbarea de bază: log⁡13(x−2)=log⁡3(x−2)log⁡3(13)=−log⁡3(x−2)\log_{\frac{1}{3}}(x-2) = \frac{\log_3(x-2)}{\log_3(\frac{1}{3})} = -\log_3(x-2). Ecuația devine log⁡3(x2−4x)−log⁡3(x−2)=2\log_3(x^2 - 4x) - \log_3(x-2) = 2. Aplicați proprietatea logaritmilor: log⁡3(x2−4xx−2)=2\log_3\left(\frac{x^2 - 4x}{x-2}\right) = 2.
33 puncte
Simplificați fracția: x2−4xx−2=x\frac{x^2 - 4x}{x-2} = x pentru x≠2x \neq 2 (dar x>4x > 4 din domeniu). Obțineți log⁡3(x)=2\log_3(x) = 2, deci x=32=9x = 3^2 = 9.
41 punct
Verificați soluția împotriva domeniului: x=9>4x = 9 > 4, deci este validă. Soluția finală este x=9x = 9.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.