MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieNumere ComplexeInducție matematică
Fie θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Să se demonstreze că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) (formula lui Moivre). Apoi, utilizând această formulă, să se calculeze suma S=∑k=1ncos⁡(kθ)S = \sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Demonstrarea formulei lui Moivre prin inducție matematică: pentru n=1n=1 este evident, iar pentru pasul inductiv, se înmulțește (cos⁡θ+isin⁡θ)n(\cos \theta + i \sin \theta)^n cu (cos⁡θ+isin⁡θ)(\cos \theta + i \sin \theta) și se folosesc formulele trigonometrice pentru cosinus și sinus ale sumei.
24 puncte
Se consideră z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta. Atunci S=ℜ(∑k=1nzk)S = \Re\left( \sum_{k=1}^{n} z^k \right). Suma ∑k=1nzk\sum_{k=1}^{n} z^k este o progresie geometrică cu rația zz, deci pentru z≠1z \neq 1, ∑k=1nzk=z1−zn1−z\sum_{k=1}^{n} z^k = z \frac{1-z^n}{1-z}.
33 puncte
Se simplifică expresia și se ia partea reală, obținându-se S=sin⁡(nθ2)cos⁡((n+1)θ2)sin⁡(θ2)S = \frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right) \cos\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} când sin⁡(θ2)≠0\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \neq 0. Se discuta cazul sin⁡(θ2)=0\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 0, când θ=2kπ\theta = 2k\pi, iar S=nS = n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.