MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Se consideră matricea M=(2111−123ab)M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & a & b \end{pmatrix} și vectorul v⃗=(123)\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}. Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât sistemul M⋅x⃗=v⃗M \cdot \vec{x} = \vec{v} să aibă soluție unică și det⁡(M)=8\det(M) = 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru ca sistemul să aibă soluție unică, matricea MM trebuie să fie inversabilă, adică det⁡(M)≠0\det(M) \neq 0. Condiția dată det⁡(M)=8\det(M) = 8 asigură acest lucru, deoarece 8≠08 \neq 0.\n
23 puncte
Calculăm det⁡(M)\det(M): det⁡(M)=2⋅det⁡(−12ab)−1⋅det⁡(123b)+1⋅det⁡(1−13a)=2((−1)b−2a)−1(b−6)+1(a+3)=−2b−4a−b+6+a+3=−3a−3b+9\det(M) = 2 \cdot \det\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ a & b \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & b \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & a \end{pmatrix} = 2((-1)b - 2a) - 1(b - 6) + 1(a + 3) = -2b - 4a - b + 6 + a + 3 = -3a - 3b + 9.\n
32 puncte
Impunem det⁡(M)=8\det(M) = 8, deci −3a−3b+9=8-3a - 3b + 9 = 8, adică −3a−3b=−1-3a - 3b = -1, sau 3a+3b=13a + 3b = 1, de unde a+b=13a + b = \frac{1}{3}.\n
42 puncte
Orice pereche (a,b)(a,b) care satisface a+b=13a + b = \frac{1}{3} asigură det⁡(M)=8\det(M) = 8, deci sistemul are soluție unică. De exemplu, a=0a=0 și b=13b=\frac{1}{3} sunt valori valide.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.