MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceEcuații iraționaleAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: log⁡2(x+x−1)=1\log_2(x + \sqrt{x-1}) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabiliți condițiile de existență: x−1≥0x-1 \geq 0 și x+x−1>0x + \sqrt{x-1} > 0. Deoarece pentru x≥1x \geq 1, x+x−1>0x + \sqrt{x-1} > 0, rezultă x≥1x \geq 1.
22 puncte
Din definiția logaritmului, obțineți x+x−1=21=2x + \sqrt{x-1} = 2^1 = 2.
32 puncte
Izolați radicalul: x−1=2−x\sqrt{x-1} = 2 - x și impuneți condiția 2−x≥02 - x \geq 0, deci x≤2x \leq 2. Combinat, x∈[1,2]x \in [1,2].
42 puncte
Ridicați la pătrat ambele părți: x−1=(2−x)2=4−4x+x2x-1 = (2-x)^2 = 4 - 4x + x^2, deci x2−5x+5=0x^2 - 5x + 5 = 0.
52 puncte
Rezolvați ecuația pătratică: Δ=25−20=5\Delta = 25 - 20 = 5, deci x=5±52x = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}. Verificați că doar x=5−52x = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} satisface x∈[1,2]x \in [1,2] și ecuația originală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.