MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: log⁡x(2x−3)+log⁡x(4)=2\log_{\sqrt{x}}(2x-3) + \log_x(4) = 2.

Rezolvare completă

11 puncte · 7 pași
12 puncte
Determinăm domeniul de definiție. Pentru log⁡x(2x−3)\log_{\sqrt{x}}(2x-3), avem x>0\sqrt{x} > 0, x≠1\sqrt{x} \neq 1, deci x>0x > 0 și x≠1x \neq 1, și argumentul 2x−3>0⇒x>322x-3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}. Pentru log⁡x(4)\log_x(4), avem x>0x > 0, x≠1x \neq 1. Deci, x>32x > \frac{3}{2} și x≠1x \neq 1.
22 puncte
Folosim schimbarea de bază: log⁡x(2x−3)=ln⁡(2x−3)ln⁡(x)=2ln⁡(2x−3)ln⁡(x)\log_{\sqrt{x}}(2x-3) = \frac{\ln(2x-3)}{\ln(\sqrt{x})} = 2 \frac{\ln(2x-3)}{\ln(x)} și log⁡x(4)=ln⁡(4)ln⁡(x)\log_x(4) = \frac{\ln(4)}{\ln(x)}. Ecuația devine: 2ln⁡(2x−3)ln⁡(x)+ln⁡(4)ln⁡(x)=22 \frac{\ln(2x-3)}{\ln(x)} + \frac{\ln(4)}{\ln(x)} = 2.
32 puncte
Înmulțim ambii membri cu ln⁡(x)\ln(x) (deoarece x>0x>0, x≠1x\neq1, ln⁡(x)≠0\ln(x)\neq0): 2ln⁡(2x−3)+ln⁡(4)=2ln⁡(x)2 \ln(2x-3) + \ln(4) = 2 \ln(x).
42 puncte
Aplicăm proprietățile logaritmilor: ln⁡((2x−3)2)+ln⁡(4)=ln⁡(x2)\ln((2x-3)^2) + \ln(4) = \ln(x^2), deci ln⁡(4(2x−3)2)=ln⁡(x2)\ln(4(2x-3)^2) = \ln(x^2).
51 punct
Din injectivitatea logaritmului natural, avem 4(2x−3)2=x24(2x-3)^2 = x^2. Dezvoltăm: 4(4x2−12x+9)=x2⇒16x2−48x+36=x2⇒15x2−48x+36=04(4x^2 -12x +9) = x^2 \Rightarrow 16x^2 -48x +36 = x^2 \Rightarrow 15x^2 -48x +36=0.
61 punct
Rezolvăm ecuația pătratică: 15x2−48x+36=015x^2 -48x +36=0. Împărțim la 3: 5x2−16x+12=05x^2 -16x +12=0. Discriminantul Δ=16\Delta = 16, deci x=16±410=2x = \frac{16 \pm 4}{10} = 2 sau 1,21,2.
71 punct
Verificăm soluțiile cu domeniul: x>1,5x > 1,5 și x≠1x \neq 1. x=2x=2 este validă, iar x=1,2x=1,2 nu este. Deci, soluția este x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.