MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeProgresii GeometricePolinoame
Determinați toate numerele complexe zz care satisfac ecuația z4+z2+1=0z^4 + z^2 + 1 = 0. Exprimați-le în formă trigonometrică și arătați că ele formează o progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că ecuația se poate scrie ca (z2)2+z2+1=0(z^2)^2 + z^2 + 1 = 0. Făcând substituția t=z2t = z^2, obținem t2+t+1=0t^2 + t + 1 = 0.
24 puncte
Rezolvăm t2+t+1=0t^2 + t + 1 = 0, obținând t=−12±i32t = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}. Acestea sunt rădăcinile cubice ale unității, deci t=cos⁡2π3+isin⁡2π3t = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3} și t=cos⁡4π3+isin⁡4π3t = \cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}. Atunci z2=tz^2 = t, deci z=±tz = \pm \sqrt{t}. Calculând, obținem patru rădăcini: z1=cos⁡π3+isin⁡π3z_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}, z2=cos⁡2π3+isin⁡2π3z_2 = \cos \frac{2\pi}{3} + i\sin \frac{2\pi}{3}, z3=cos⁡4π3+isin⁡4π3z_3 = \cos \frac{4\pi}{3} + i\sin \frac{4\pi}{3}, z4=cos⁡5π3+isin⁡5π3z_4 = \cos \frac{5\pi}{3} + i\sin \frac{5\pi}{3}.
33 puncte
Se observă că z2=z1⋅(cos⁡π3+isin⁡π3)z_2 = z_1 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right), z3=z2⋅(cos⁡π3+isin⁡π3)z_3 = z_2 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right), și z4=z3⋅(cos⁡π3+isin⁡π3)z_4 = z_3 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right), deci rădăcinile sunt în progresie geometrică cu rația cos⁡π3+isin⁡π3\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.