MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația sin⁡2x−3cos⁡2x=1\sin 2x - \sqrt{3} \cos 2x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem ecuația sub forma Rsin⁡(2x−α)=1R \sin(2x - \alpha) = 1. Calculăm R=12+(−3)2=2R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 și α=arctan⁡(−31)=−π3\alpha = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}. Deci ecuația devine 2sin⁡(2x+π3)=12 \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = 1.
24 puncte
Rezolvăm sin⁡(2x+π3)=12\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. Obținem 2x+π3=π6+2kπ2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi sau 2x+π3=5π6+2kπ2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, cu k∈Zk \in \mathbb{Z}.
33 puncte
Simplificăm: 2x=−π6+2kπ2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi sau 2x=π2+2kπ2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi. Deci x=−π12+kπx = -\frac{\pi}{12} + k\pi sau x=π4+kπx = \frac{\pi}{4} + k\pi. Mulțimea soluțiilor este {x∈R∣x=−π12+kπ sau x=π4+kπ,k∈Z}\{ x \in \mathbb{R} \mid x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \text{ sau } x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.