MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere Complexe
Fie legea de compoziție ∗* definită pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} prin z1∗z2=z1+z2+i⋅z1⋅z2z_1 * z_2 = z_1 + z_2 + i \cdot z_1 \cdot z_2, unde i2=−1i^2 = -1. a) Demonstrați că legea ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∗*. c) Rezolvați în C\mathbb{C} ecuația z∗(1+i)=2−iz * (1+i) = 2-i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează (z1∗z2)∗z3=(z1+z2+iz1z2)∗z3=(z1+z2+iz1z2)+z3+i(z1+z2+iz1z2)z3=z1+z2+z3+i(z1z2+z1z3+z2z3)−z1z2z3(z_1 * z_2) * z_3 = (z_1 + z_2 + i z_1 z_2) * z_3 = (z_1 + z_2 + i z_1 z_2) + z_3 + i (z_1 + z_2 + i z_1 z_2) z_3 = z_1 + z_2 + z_3 + i (z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3) - z_1 z_2 z_3. Similar, z1∗(z2∗z3)=z1+(z2+z3+iz2z3)+iz1(z2+z3+iz2z3)=z1+z2+z3+i(z1z2+z1z3+z2z3)−z1z2z3z_1 * (z_2 * z_3) = z_1 + (z_2 + z_3 + i z_2 z_3) + i z_1 (z_2 + z_3 + i z_2 z_3) = z_1 + z_2 + z_3 + i (z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3) - z_1 z_2 z_3. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
23 puncte
Fie ee elementul neutru. Atunci z∗e=z+e+ize=zz * e = z + e + i z e = z pentru orice z∈Cz \in \mathbb{C}. Rezultă e+ize=0e + i z e = 0, deci e(1+iz)=0e(1 + i z) = 0. Pentru z=0z = 0, obținem e=0e = 0. Verificând, 0∗z=0+z+i⋅0⋅z=z0 * z = 0 + z + i \cdot 0 \cdot z = z, deci elementul neutru este e=0e = 0.
34 puncte
Ecuația z∗(1+i)=2−iz * (1+i) = 2-i devine z+(1+i)+iz(1+i)=2−iz + (1+i) + i z (1+i) = 2-i. Simplificând: z+1+i+iz+i2z=2−iz + 1 + i + i z + i^2 z = 2 - i, adică z+1+i+iz−z=2−iz + 1 + i + i z - z = 2 - i, deci 1+i+iz=2−i1 + i + i z = 2 - i. Rezultă iz=1−2ii z = 1 - 2i, deci z=1−2ii=−2−iz = \frac{1-2i}{i} = -2 - i. Soluția este z=−2−iz = -2 - i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.