MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciIdentități algebrice
Fie matricele A=(1−230)A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} și B=(21−11)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. Calculați (A+B)2−(A2+2AB+B2)(A+B)^2 - (A^2 + 2AB + B^2) și demonstrați că rezultatul este matricea nulă dacă și numai dacă AB=BAAB = BA.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați A+B=(3−121)A+B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} și (A+B)2=(7−48−1)(A+B)^2 = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 8 & -1 \end{pmatrix};
23 puncte
Calculați A2=(−5−23−6)A^2 = \begin{pmatrix} -5 & -2 \\ 3 & -6 \end{pmatrix}, AB=(4−163)AB = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}, B2=(33−30)B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} și 2AB=(8−2126)2AB = \begin{pmatrix} 8 & -2 \\ 12 & 6 \end{pmatrix};
32 puncte
Calculați (A+B)2−(A2+2AB+B2)=(7−48−1)−(6−112−3)=(1−3−42)(A+B)^2 - (A^2 + 2AB + B^2) = \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ 8 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 12 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix};
42 puncte
Observați că (A+B)2−(A2+2AB+B2)=AB−BA(A+B)^2 - (A^2 + 2AB + B^2) = AB - BA și demonstrați că este matricea nulă dacă și numai dacă AB=BAAB = BA, prin calcul direct sau proprietăți algebrice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.