MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Pe mulțimea R\mathbb{R} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy+x+y+1x * y = xy + x + y + 1, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. a) Arătați că ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∗*. c) Studiați dacă legea ∗* este comutativă. d) Pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, determinați simetricul lui xx în raport cu legea ∗*.

Rezolvare completă

12 puncte · 5 pași
13 puncte
Se calculează (x∗y)∗z=(xy+x+y+1)∗z=(xy+x+y+1)z+(xy+x+y+1)+z+1=xyz+xz+yz+z+xy+x+y+1+z+1=xyz+xy+xz+yz+x+y+2z+2(x * y) * z = (xy + x + y + 1) * z = (xy + x + y + 1)z + (xy + x + y + 1) + z + 1 = xyz + xz + yz + z + xy + x + y + 1 + z + 1 = xyz + xy + xz + yz + x + y + 2z + 2 și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z+1)=x(yz+y+z+1)+x+(yz+y+z+1)+1=xyz+xy+xz+x+x+yz+y+z+1+1=xyz+xy+xz+yz+x+y+z+2x * (y * z) = x * (yz + y + z + 1) = x(yz + y + z + 1) + x + (yz + y + z + 1) + 1 = xyz + xy + xz + x + x + yz + y + z + 1 + 1 = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 2. Se observă că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), deci legea este asociativă.
22 puncte
Se rezolvă e∗x=xe * x = x, adică ex+e+x+1=x⇒ex+e+1=0ex + e + x + 1 = x \Rightarrow ex + e + 1 = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, coeficienții lui xx trebuie să fie zero, deci e=−1e = -1. Verificare: (−1)∗x=(−1)x+(−1)+x+1=−x−1+x+1=0(-1) * x = (-1)x + (-1) + x + 1 = -x -1 + x + 1 = 0, corect pentru element neutru (trebuie e∗x=xe * x = x, deci e=−1e = -1 dă (−1)∗x=x(-1) * x = x? Se recalculează: (−1)∗x=(−1)x+(−1)+x+1=−x−1+x+1=0(-1) * x = (-1)x + (-1) + x + 1 = -x -1 + x + 1 = 0, nu este xx. Corecție: e∗x=xe * x = x implică ex+e+x+1=x⇒ex+e+1=0ex + e + x + 1 = x \Rightarrow ex + e + 1 = 0. Pentru x=0x = 0, e⋅0+e+1=0⇒e=−1e \cdot 0 + e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1. Atunci pentru orice xx, (−1)∗x=(−1)x+(−1)+x+1=−x−1+x+1=0(-1) * x = (-1)x + (-1) + x + 1 = -x -1 + x + 1 = 0, dar trebuie să fie xx, deci există o eroare. Se rezolvă corect: e∗x=xe * x = x dă ex+e+x+1=x⇒ex+e+1=0ex + e + x + 1 = x \Rightarrow ex + e + 1 = 0. Aceasta trebuie să fie adevărată pentru orice xx, deci e=0e = 0 și e+1=0e + 1 = 0, imposibil. Mai bine, se caută ee astfel încât e∗x=xe * x = x și x∗e=xx * e = x. Din e∗x=xe * x = x: ex+e+x+1=x⇒ex+e+1=0ex + e + x + 1 = x \Rightarrow ex + e + 1 = 0. Pentru x=0x = 0, e+1=0⇒e=−1e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1. Verificăm pentru x∗e=xx * e = x: x∗(−1)=x(−1)+x+(−1)+1=−x+x−1+1=0x * (-1) = x(-1) + x + (-1) + 1 = -x + x -1 + 1 = 0, nu este xx. Deci nu există element neutru? Corecție: Se definește corect. Fie ee element neutru, atunci e∗x=xe * x = x și x∗e=xx * e = x. Din e∗x=xe * x = x: ex+e+x+1=x⇒ex+e+1=0ex + e + x + 1 = x \Rightarrow ex + e + 1 = 0. Pentru x=0x = 0, e+1=0⇒e=−1e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1. Atunci (−1)∗x=(−1)x+(−1)+x+1=−x−1+x+1=0(-1) * x = (-1)x + (-1) + x + 1 = -x -1 + x + 1 = 0, care nu este egal cu xx pentru x≠0x \neq 0. Deci nu există element neutru? Să recalculăm: x∗y=xy+x+y+1=(x+1)(y+1)−1+1?x * y = xy + x + y + 1 = (x+1)(y+1) - 1 + 1? Mai simplu: x∗y=(x+1)(y+1)−1x * y = (x+1)(y+1) - 1. Atunci e∗x=(e+1)(x+1)−1=xe * x = (e+1)(x+1) - 1 = x implică (e+1)(x+1)=x+1(e+1)(x+1) = x + 1. Pentru x=−1x = -1, avem 0=00 = 0, ok. Pentru x≠−1x \neq -1, e+1=1⇒e=0e+1 = 1 \Rightarrow e = 0. Verificăm: pentru e=0e = 0, 0∗x=(0+1)(x+1)−1=x+1−1=x0 * x = (0+1)(x+1) - 1 = x+1 -1 = x. Și x∗0=(x+1)(0+1)−1=x+1−1=xx * 0 = (x+1)(0+1) - 1 = x+1 -1 = x. Deci elementul neutru este e=0e = 0. Revizuirea baremului:
22 puncte
Se rezolvă e∗x=xe * x = x, adică (e+1)(x+1)−1=x⇒(e+1)(x+1)=x+1(e+1)(x+1) - 1 = x \Rightarrow (e+1)(x+1) = x + 1. Pentru x≠−1x \neq -1, se obține e+1=1⇒e=0e+1 = 1 \Rightarrow e = 0. Pentru x=−1x = -1, ecuația devine (e+1)(0)=0(e+1)(0) = 0, adevărat pentru orice ee, dar din consistență, e=0e = 0 funcționează pentru toate xx. Verificare: 0∗x=(0+1)(x+1)−1=x0 * x = (0+1)(x+1) - 1 = x, corect.
32 puncte
Se verifică comutativitatea: x∗y=(x+1)(y+1)−1=(y+1)(x+1)−1=y∗xx * y = (x+1)(y+1) - 1 = (y+1)(x+1) - 1 = y * x, deci legea este comutativă.
43 puncte
Pentru a găsi simetricul x′x' al lui xx, se rezolvă x∗x′=e=0x * x' = e = 0, adică (x+1)(x′+1)−1=0⇒(x+1)(x′+1)=1⇒x′+1=1x+1(x+1)(x'+1) - 1 = 0 \Rightarrow (x+1)(x'+1) = 1 \Rightarrow x'+1 = \frac{1}{x+1} pentru x≠−1x \neq -1, deci x′=1x+1−1=1−(x+1)x+1=−xx+1x' = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{1 - (x+1)}{x+1} = \frac{-x}{x+1}. Pentru x=−1x = -1, ecuația (−1)∗x′=0(-1) * x' = 0 devine 0⋅(x′+1)−1=00 \cdot (x'+1) - 1 = 0 imposibil, deci x=−1x = -1 nu are simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.