MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră matricea A=(120−113201)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Determinați matricea inversă A−1A^{-1}. c) Rezolvați sistemul de ecuații liniare A⋅(xyz)=(4−13)A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} folosind matricea inversă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm det⁡(A)=1⋅∣1301∣−2⋅∣−1321∣+0⋅∣−1120∣=1⋅(1⋅1−3⋅0)−2⋅((−1)⋅1−3⋅2)=1−2⋅(−7)=15\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 3 \cdot 0) - 2 \cdot ((-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2) = 1 - 2 \cdot (-7) = 15.
24 puncte
Matricea adjunctă: adj(A)=(1−2671−3−243)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 7 & 1 & -3 \\ -2 & 4 & 3 \end{pmatrix} (calcul complet cu complemente algebrice). Atunci A−1=115⋅adj(A)=115(1−2671−3−243)A^{-1} = \frac{1}{15} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 7 & 1 & -3 \\ -2 & 4 & 3 \end{pmatrix}.
33 puncte
Soluția sistemului este X=A−1⋅B=115(1−2671−3−243)(4−13)=115(2418−3)=(8565−15)X = A^{-1} \cdot B = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 6 \\ 7 & 1 & -3 \\ -2 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 24 \\ 18 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{5} \\ \frac{6}{5} \\ -\frac{1}{5} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.