MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră matricele A=(1−123)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} și B=(21−10)B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Calculați determinantul matricei A⋅B−B⋅AA \cdot B - B \cdot A și determinați matricea XX care verifică ecuația A⋅X+X⋅B=CA \cdot X + X \cdot B = C, unde C=(1001)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Calculăm A⋅B=(1−123)⋅(21−10)=(1⋅2+(−1)⋅(−1)1⋅1+(−1)⋅02⋅2+3⋅(−1)2⋅1+3⋅0)=(3112)A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot2 + (-1)\cdot(-1) & 1\cdot1 + (-1)\cdot0 \\ 2\cdot2 + 3\cdot(-1) & 2\cdot1 + 3\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.
22 puncte
Calculăm B⋅A=(21−10)⋅(1−123)=(2⋅1+1⋅22⋅(−1)+1⋅3−1⋅1+0⋅2−1⋅(−1)+0⋅3)=(41−11)B \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot(-1) + 1\cdot3 \\ -1\cdot1 + 0\cdot2 & -1\cdot(-1) + 0\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
32 puncte
Calculăm A⋅B−B⋅A=(3112)−(41−11)=(−1021)A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}. Determinantul este det⁡(−1021)=(−1)⋅1−0⋅2=−1\det\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = (-1)\cdot1 - 0\cdot2 = -1.
42 puncte
Ecuația A⋅X+X⋅B=CA \cdot X + X \cdot B = C. Fie X=(xyzt)X = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix}. Atunci A⋅X=(1−123)⋅(xyzt)=(x−zy−t2x+3z2y+3t)A \cdot X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - z & y - t \\ 2x + 3z & 2y + 3t \end{pmatrix} și X⋅B=(xyzt)⋅(21−10)=(2x−yx2z−tz)X \cdot B = \begin{pmatrix} x & y \\ z & t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x - y & x \\ 2z - t & z \end{pmatrix}. Adunând, obținem ((x−z)+(2x−y)(y−t)+x(2x+3z)+(2z−t)(2y+3t)+z)=(1001)\begin{pmatrix} (x - z) + (2x - y) & (y - t) + x \\ (2x + 3z) + (2z - t) & (2y + 3t) + z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
52 puncte
Din egalitatea matricelor, avem sistemul: {3x−y−z=1x+y−t=02x+5z−t=0z+2y+3t=1\begin{cases} 3x - y - z = 1 \\ x + y - t = 0 \\ 2x + 5z - t = 0 \\ z + 2y + 3t = 1 \end{cases}. Rezolvând sistemul, de exemplu prin substituție, găsim x=1,y=0,z=0,t=1x = 1, y = 0, z = 0, t = 1. Deci X=(1001)X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.