MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeGrupuri
Pe mulțimea M={z∈C:∣z∣=1}M = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} se definește legea de compoziție ∘\circ prin z1∘z2=z1⋅z2z_1 \circ z_2 = z_1 \cdot z_2 (înmulțirea complexă). a) Demonstrați că (M,∘)(M, \circ) este grup abelian. b) Determinați ordinul elementului ii în acest grup. c) Considerăm submulțimea H={1,−1,i,−i}H = \{ 1, -1, i, -i \}. Arătați că HH este subgrup al lui MM.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică proprietățile: închiderea - pentru orice z1,z2∈Mz_1, z_2 \in M, ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1⋅1=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1 \cdot 1 = 1, deci z1∘z2∈Mz_1 \circ z_2 \in M; asociativitatea - înmulțirea complexă este asociativă; elementul neutru este 11, deoarece 1∘z=1⋅z=z1 \circ z = 1 \cdot z = z și z∘1=z⋅1=zz \circ 1 = z \cdot 1 = z; inversul - pentru orice z∈Mz \in M, ∣z∣=1|z|=1, deci z−1=z‾z^{-1} = \overline{z} sau 1z\frac{1}{z}, iar ∣z−1∣=1∣z∣=1|z^{-1}| = \frac{1}{|z|} = 1, deci z−1∈Mz^{-1} \in M; comutativitatea - înmulțirea complexă este comutativă, deci z1∘z2=z2∘z1z_1 \circ z_2 = z_2 \circ z_1.
23 puncte
Se calculează puterile lui ii: i1=ii^1 = i, i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1. Cel mai mic număr natural pozitiv nn astfel încât in=1i^n = 1 este n=4n=4, deci ordinul lui ii este 4.
33 puncte
Pentru HH, se verifică: închiderea - produsul oricăror două elemente din HH este în HH (de exemplu, i⋅(−i)=1i \cdot (-i) = 1, etc.); elementul neutru 1∈H1 \in H; inversul - pentru fiecare element din HH, inversul este în HH (1−1=11^{-1}=1, (−1)−1=−1(-1)^{-1}=-1, i−1=−ii^{-1}=-i, (−i)−1=i(-i)^{-1}=i). Deci HH este subgrup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.