MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie matricea A=(m121m121m)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 2 \\ 1 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix}, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. a) Studiați, în funcție de mm, dacă matricea AA este inversabilă. b) Pentru m=3m=3, rezolvați sistemul de ecuații AX=BAX = B, unde X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} și B=(10−1)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}. c) Arătați că pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}, dacă AA este inversabilă, atunci A−1A^{-1} are toate elementele raționale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați determinantul matricei AA: det⁡(A)=m3−6m+4\det(A) = m^3 - 6m + 4. Studiați ecuația det⁡(A)=0\det(A)=0: m3−6m+4=0m^3 - 6m + 4 = 0 are rădăcinile m=2m=2 și m=−1±3m=-1\pm\sqrt{3}. Matricea este inversabilă dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică pentru m∈R∖{2,−1−3,−1+3}m \in \mathbb{R} \setminus \{2, -1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}\}.
23 puncte
Pentru m=3m=3, det⁡(A)=27−18+4=13≠0\det(A)=27-18+4=13\neq0. Calculați A−1A^{-1} folosind formula A−1=1det⁡(A)adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) sau rezolvați sistemul prin metoda matriceală: X=A−1BX = A^{-1}B. Matricea adjunctă este adj(A)=(m2−1−m+21−2m−m+2m2−4−m+21−2m−m+2m2−1)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} m^2-1 & -m+2 & 1-2m \\ -m+2 & m^2-4 & -m+2 \\ 1-2m & -m+2 & m^2-1 \end{pmatrix}, deci A−1=113(8−1−5−15−1−5−18)A^{-1} = \frac{1}{13} \begin{pmatrix} 8 & -1 & -5 \\ -1 & 5 & -1 \\ -5 & -1 & 8 \end{pmatrix} și X=(0−113−113)X = \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{1}{13} \\ -\frac{1}{13} \end{pmatrix}.
33 puncte
Dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, atunci A−1=1det⁡(A)adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A). Elementele matricei adjuncte sunt polinoame în mm cu coeficienți întregi, iar det⁡(A)\det(A) este un polinom cu coeficienți întregi. Prin urmare, raportul dintre două polinoame cu coeficienți întregi, pentru valori ale lui mm care nu anulează numitorul, este un număr rațional, deci toate elementele lui A−1A^{-1} sunt raționale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.