MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie numerele complexe zz care satisfac ecuația ∣z−2∣+∣z+2∣=6|z - 2| + |z + 2| = 6. Determinați locul geometric al punctelor din plan care reprezintă aceste numere și calculați aria acestui loc geometric.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Notați z=x+yiz = x + yi, cu x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Ecuația devine (x−2)2+y2+(x+2)2+y2=6\sqrt{(x-2)^2 + y^2} + \sqrt{(x+2)^2 + y^2} = 6.\n
24 puncte
Aceasta este ecuația unei elipse cu focarele în punctele (2,0)(2,0) și (−2,0)(-2,0). Suma distanțelor de la un punct pe elipsă la focare este constantă și egală cu 66, deci 2a=6⇒a=32a = 6 \Rightarrow a = 3. Distanța dintre focare este 44, deci 2c=4⇒c=22c = 4 \Rightarrow c = 2. Calculați semiaxa mică: b2=a2−c2=9−4=5⇒b=5b^2 = a^2 - c^2 = 9 - 4 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5}.\n
32 puncte
Locul geometric este o elipsă cu semiaxele a=3a=3 și b=5b=\sqrt{5}. Aria elipsei este πab=π⋅3⋅5=3π5\pi a b = \pi \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 3\pi\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.