MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R} se definește legea de compoziție x∗y=xy+2x+2y+2x * y = xy + 2x + 2y + 2. a) Studiați asociativitatea legii. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Rezolvați ecuația x∗x=14x * x = 14.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea calculând (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z). Avem x∗y=xy+2x+2y+2x * y = xy + 2x + 2y + 2, deci (x∗y)∗z=(xy+2x+2y+2)z+2(xy+2x+2y+2)+2z+2=xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6(x * y) * z = (xy + 2x + 2y + 2)z + 2(xy + 2x + 2y + 2) + 2z + 2 = xyz + 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 4y + 4z + 6. Similar, x∗(y∗z)=x(yz+2y+2z+2)+2x+2(yz+2y+2z+2)+2=xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6x * (y * z) = x(yz + 2y + 2z + 2) + 2x + 2(yz + 2y + 2z + 2) + 2 = xyz + 2xy + 2xz + 2yz + 4x + 4y + 4z + 6. Deoarece expresiile coincid, legea este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Ecuația x∗e=xe+2x+2e+2=xx * e = xe + 2x + 2e + 2 = x implică xe+2e+2=0xe + 2e + 2 = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, coeficienții lui xx trebuie să fie zero, deci e=0e=0 și 2=02=0, contradicție. Prin urmare, nu există element neutru.
34 puncte
Rezolvăm ecuația x∗x=14x * x = 14. Substituind, avem x2+2x+2x+2=x2+4x+2=14x^2 + 2x + 2x + 2 = x^2 + 4x + 2 = 14, deci x2+4x−12=0x^2 + 4x - 12 = 0. Discriminantul este Δ=16+48=64\Delta = 16 + 48 = 64, iar rădăcinile sunt x=−4±82x = \frac{-4 \pm 8}{2}, adică x=2x = 2 sau x=−6x = -6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.