MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3e−xf(x) = x^3 e^{-x}. Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. Apoi, demonstrați că ecuația f(x)=kf(x) = k are exact trei soluții reale distincte pentru k∈(0,27e3)k \in (0, \frac{27}{e^3}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=3x2e−x−x3e−x=x2e−x(3−x)f'(x) = 3x^2 e^{-x} - x^3 e^{-x} = x^2 e^{-x}(3 - x).
23 puncte
Rezolvarea ecuației f′(x)=0f'(x)=0: x=0x=0 sau x=3x=3, deci punctele critice sunt x=0x=0 și x=3x=3.
32 puncte
Studiul semnului derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,3)∖{0}x \in (-\infty, 3) \setminus \{0\} și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x>3x > 3. Astfel, ff este crescătoare pe (−∞,3](-\infty, 3] și descrescătoare pe [3,∞)[3, \infty). x=3x=3 este punct de maxim local cu f(3)=27e3f(3)=\frac{27}{e^3}, iar x=0x=0 nu este punct de extrem.
42 puncte
Analiza ecuației f(x)=kf(x)=k: f(0)=0f(0)=0, lim⁡x→−∞f(x)=−∞\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty, lim⁡x→∞f(x)=0\lim_{x \to \infty} f(x) = 0. Pentru k∈(0,27e3)k \in (0, \frac{27}{e^3}), funcția ia valori mai mari decât kk pe un interval, deci ecuația are trei soluții distincte datorită variației și continuității.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.