MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că punctul A(1,2)A(1,2) este punct de inflexiune pentru graficul funcției ff și că tangenta la grafic în AA are panta egală cu 3, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d. Apoi, studiați monotonia funcției ff pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea condițiilor din enunț. Punctul A(1,2)A(1,2) aparține graficului: f(1)=2⇒a+b+c+d=2f(1)=2 \Rightarrow a + b + c + d = 2. Derivata întâi: f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, deci panta tangentei în AA este f′(1)=3⇒3a+2b+c=3f'(1)=3 \Rightarrow 3a + 2b + c = 3. Punctul de inflexiune implică f′′(1)=0f''(1)=0, unde f′′(x)=6ax+2bf''(x) = 6ax + 2b, deci 6a+2b=06a + 2b = 0.
24 puncte
Rezolvarea sistemului de ecuații. Sistemul: {a+b+c+d=23a+2b+c=36a+2b=0\begin{cases} a + b + c + d = 2 \\ 3a + 2b + c = 3 \\ 6a + 2b = 0 \end{cases}. Din a treia ecuație, 2b=−6a⇒b=−3a2b = -6a \Rightarrow b = -3a. Înlocuind în a doua: 3a+2(−3a)+c=3⇒3a−6a+c=3⇒−3a+c=3⇒c=3+3a3a + 2(-3a) + c = 3 \Rightarrow 3a - 6a + c = 3 \Rightarrow -3a + c = 3 \Rightarrow c = 3 + 3a. Înlocuind în prima: a+(−3a)+(3+3a)+d=2⇒a−3a+3+3a+d=2⇒a+3+d=2⇒d=−1−aa + (-3a) + (3+3a) + d = 2 \Rightarrow a - 3a + 3 + 3a + d = 2 \Rightarrow a + 3 + d = 2 \Rightarrow d = -1 - a. Pentru a găsi aa, se poate alege o valoare arbitrară (de ex., a=1a=1 pentru simplitate), dar enunțul nu impune unicitate; se presupune a=1a=1, atunci b=−3b=-3, c=6c=6, d=−2d=-2. Verificare: f(x)=x3−3x2+6x−2f(x)=x^3 -3x^2 +6x -2.
33 puncte
Studiul monotoniciei. Calculăm f′(x)=3x2−6x+6f'(x)=3x^2 -6x +6. Discriminantul: Δ=(−6)2−4⋅3⋅6=36−72=−36<0\Delta = (-6)^2 - 4\cdot3\cdot6 = 36 - 72 = -36 < 0, deci f′(x)>0f'(x)>0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (coeficientul lui x2x^2 pozitiv). Astfel, ff este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.