MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteLogaritmiAplicații ale derivatelor
Să se calculeze integrala definită ∫1exln⁡x dx\int_{1}^{e} x \ln x \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se identifică că integrala se poate calcula prin integrare prin părți. Se aleg u=ln⁡xu = \ln x și dv=xdxdv = x dx.
24 puncte
Se calculează du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx și v=x22v = \frac{x^{2}}{2}. Aplicând formula ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du, se obține [x22ln⁡x]1e−∫1ex22⋅1xdx=[x22ln⁡x]1e−∫1ex2dx\left[ \frac{x^{2}}{2} \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \left[ \frac{x^{2}}{2} \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} dx.
33 puncte
Se evaluează termenul la limite și se calculează integrala rămasă: e22ln⁡e−122ln⁡1−[x24]1e=e22⋅1−0−(e24−14)=e22−e24+14=e2+14\frac{e^{2}}{2} \ln e - \frac{1^{2}}{2} \ln 1 - \left[ \frac{x^{2}}{4} \right]_{1}^{e} = \frac{e^{2}}{2} \cdot 1 - 0 - \left( \frac{e^{2}}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^{2}}{2} - \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2}+1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.