MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanți
Se consideră matricele A=(120−10121−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} și B=(2−11012103)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}. Calculați determinantul matricei C=A⋅B−B⋅AC = A \cdot B - B \cdot A. Discutați dacă CC este inversabilă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm A⋅B=(1⋅2+2⋅0+0⋅11⋅(−1)+2⋅1+0⋅01⋅1+2⋅2+0⋅3−1⋅2+0⋅0+1⋅1−1⋅(−1)+0⋅1+1⋅0−1⋅1+0⋅2+1⋅32⋅2+1⋅0+(−1)⋅12⋅(−1)+1⋅1+(−1)⋅02⋅1+1⋅2+(−1)⋅3)=(215−1123−11)A \cdot B = \begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot0+0\cdot1 & 1\cdot(-1)+2\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot1+2\cdot2+0\cdot3 \\ -1\cdot2+0\cdot0+1\cdot1 & -1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot0 & -1\cdot1+0\cdot2+1\cdot3 \\ 2\cdot2+1\cdot0+(-1)\cdot1 & 2\cdot(-1)+1\cdot1+(-1)\cdot0 & 2\cdot1+1\cdot2+(-1)\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculăm B⋅A=(2⋅1+(−1)⋅(−1)+1⋅22⋅2+(−1)⋅0+1⋅12⋅0+(−1)⋅1+1⋅(−1)0⋅1+1⋅(−1)+2⋅20⋅2+1⋅0+2⋅10⋅0+1⋅1+2⋅(−1)1⋅1+0⋅(−1)+3⋅21⋅2+0⋅0+3⋅11⋅0+0⋅1+3⋅(−1))=(55−232−175−3)B \cdot A = \begin{pmatrix} 2\cdot1+(-1)\cdot(-1)+1\cdot2 & 2\cdot2+(-1)\cdot0+1\cdot1 & 2\cdot0+(-1)\cdot1+1\cdot(-1) \\ 0\cdot1+1\cdot(-1)+2\cdot2 & 0\cdot2+1\cdot0+2\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot1+2\cdot(-1) \\ 1\cdot1+0\cdot(-1)+3\cdot2 & 1\cdot2+0\cdot0+3\cdot1 & 1\cdot0+0\cdot1+3\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 5 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 7 & 5 & -3 \end{pmatrix}.
32 puncte
C=A⋅B−B⋅A=(2−51−55−(−2)−1−31−22−(−1)3−7−1−51−(−3))=(−3−47−4−13−4−64)C = A \cdot B - B \cdot A = \begin{pmatrix} 2-5 & 1-5 & 5-(-2) \\ -1-3 & 1-2 & 2-(-1) \\ 3-7 & -1-5 & 1-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 & 7 \\ -4 & -1 & 3 \\ -4 & -6 & 4 \end{pmatrix}.
42 puncte
Calculăm det⁡C=(−3)⋅(−1)⋅4+(−4)⋅3⋅(−4)+7⋅(−4)⋅(−6)−7⋅(−1)⋅(−4)−(−3)⋅3⋅(−6)−(−4)⋅(−4)⋅4=12+48+168−28−54−64=82\det C = (-3) \cdot (-1) \cdot 4 + (-4) \cdot 3 \cdot (-4) + 7 \cdot (-4) \cdot (-6) - 7 \cdot (-1) \cdot (-4) - (-3) \cdot 3 \cdot (-6) - (-4) \cdot (-4) \cdot 4 = 12 + 48 + 168 - 28 - 54 - 64 = 82. Deoarece det⁡C=82≠0\det C = 82 \neq 0, matricea CC este inversabilă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.