MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația sin⁡x+sin⁡3x=cos⁡x+cos⁡3x\sin x + \sin 3x = \cos x + \cos 3x.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosiți formulele de transformare a sumei în produs: sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a−b2\sin a + \sin b = 2 \sin \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2} și cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡a+b2cos⁡a−b2\cos a + \cos b = 2 \cos \frac{a+b}{2} \cos \frac{a-b}{2}. Aplicând, obținem 2sin⁡2xcos⁡x=2cos⁡2xcos⁡x2 \sin 2x \cos x = 2 \cos 2x \cos x.
23 puncte
Simplificați cu 2cos⁡x2 \cos x (cu atenție la cazul cos⁡x=0\cos x = 0). Ecuația devine sin⁡2x=cos⁡2x\sin 2x = \cos 2x sau cos⁡x=0\cos x = 0.
32 puncte
Rezolvați sin⁡2x=cos⁡2x\sin 2x = \cos 2x, adică tan⁡2x=1\tan 2x = 1, deci 2x=π4+kπ2x = \frac{\pi}{4} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}, de unde x=π8+kπ2x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2}. Din cos⁡x=0\cos x = 0, avem x=π2+mπx = \frac{\pi}{2} + m\pi, m∈Zm \in \mathbb{Z}.
42 puncte
Combinați soluțiile: x=π8+kπ2x = \frac{\pi}{8} + k\frac{\pi}{2} sau x=π2+mπx = \frac{\pi}{2} + m\pi, cu k,m∈Zk, m \in \mathbb{Z}. Se observă că unele soluții se suprapun (de exemplu, pentru k=1k=1, x=5π8x=\frac{5\pi}{8}, care nu este de forma π2+mπ\frac{\pi}{2}+m\pi), deci mulțimea soluțiilor este reuniunea celor două familii.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.