MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea C\mathbb{C} se definește legea de compoziție z∗w=z+w+i⋅z⋅wz \ast w = z + w + i \cdot z \cdot w, unde i2=−1i^2 = -1. Să se studieze dacă această lege este asociativă și comutativă. Dacă există, să se determine elementul neutru.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică comutativitatea; se calculează z∗w=z+w+izwz \ast w = z + w + i z w și w∗z=w+z+iwz=z+w+izww \ast z = w + z + i w z = z + w + i z w, deoarece înmulțirea complexă este comutativă, deci z∗w=w∗zz \ast w = w \ast z și legea este comutativă.
24 puncte
Se verifică asociativitatea; se calculează (z∗w)∗u=(z+w+izw)+u+i(z+w+izw)u=z+w+u+i(zw+zu+wu)+i2zwu(z \ast w) \ast u = (z+w+izw) + u + i(z+w+izw)u = z+w+u + i(zw + zu + wu) + i^2 zw u și z∗(w∗u)=z+(w+u+iwu)+iz(w+u+iwu)=z+w+u+i(zw+zu)+i2zwuz \ast (w \ast u) = z + (w+u+iwu) + i z (w+u+iwu) = z+w+u + i(zw+zu) + i^2 z w u. Comparând, (z∗w)∗u=z+w+u+i(zw+zu+wu)−zwu(z \ast w) \ast u = z+w+u + i(zw+zu+wu) - zwu și z∗(w∗u)=z+w+u+i(zw+zu)−zwuz \ast (w \ast u) = z+w+u + i(zw+zu) - zwu, care diferă prin termenul iwui w u, deci nu sunt egale în general și legea nu este asociativă.
32 puncte
Se caută elementul neutru ee rezolvând z∗e=zz \ast e = z; aceasta dă z+e+ize=z⇒e(1+iz)=0z + e + i z e = z \Rightarrow e(1 + i z) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice z∈Cz \in \mathbb{C}, trebuie e=0e=0, dar atunci 0∗z=z+0+i⋅0⋅z=z0 \ast z = z + 0 + i \cdot 0 \cdot z = z, verificând. Se verifică și z∗0=zz \ast 0 = z, deci e=0e=0 este element neutru.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.