MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie matricea A=(2−130411−25)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & 5 \end{pmatrix} și sistemul liniar {2x−y+3z=a4y+z=bx−2y+5z=c\begin{cases} 2x - y + 3z = a \\ 4y + z = b \\ x - 2y + 5z = c \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei AA. b) Folosind regula lui Cramer, rezolvați sistemul pentru a=5a = 5, b=3b = 3, c=2c = 2. c) Pentru ce valori reale ale lui kk sistemul este compatibil nedeterminat dacă a=ka = k, b=2kb = 2k, c=3kc = 3k?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculul determinantului. det⁡A=2⋅(4⋅5−1⋅(−2))−(−1)⋅(0⋅5−1⋅1)+3⋅(0⋅(−2)−4⋅1)=2⋅(20+2)+1⋅(0−1)+3⋅(0−4)=44−1−12=31\det A = 2\cdot(4\cdot5 - 1\cdot(-2)) - (-1)\cdot(0\cdot5 - 1\cdot1) + 3\cdot(0\cdot(-2) - 4\cdot1) = 2\cdot(20+2) + 1\cdot(0-1) + 3\cdot(0-4) = 44 -1 -12 = 31. \n
24 puncte
Rezolvarea sistemului cu Cramer pentru a=5a=5, b=3b=3, c=2c=2. Se calculează Δx=∣5−133412−25∣=5⋅(20+2)+1⋅(15−2)+3⋅(−6−8)=110+13−42=81\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & -2 & 5 \end{vmatrix} = 5\cdot(20+2) +1\cdot(15-2) +3\cdot(-6-8) = 110 +13 -42 = 81, Δy=∣253031125∣=2⋅(15−2)−5⋅(0−1)+3⋅(0−3)=26+5−9=22\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 2\cdot(15-2) -5\cdot(0-1) +3\cdot(0-3) = 26 +5 -9 = 22, Δz=∣2−150431−22∣=2⋅(8+6)+1⋅(0−3)+5⋅(0−4)=28−3−20=5\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot(8+6) +1\cdot(0-3) +5\cdot(0-4) = 28 -3 -20 = 5. Atunci x=8131x = \frac{81}{31}, y=2231y = \frac{22}{31}, z=531z = \frac{5}{31}. \n
33 puncte
Compatibilitatea pentru a=ka=k, b=2kb=2k, c=3kc=3k. Sistemul este compatibil nedeterminat dacă det⁡A=0\det A = 0, dar det⁡A=31≠0\det A = 31 \neq 0, deci nu există kk real pentru care sistemul să fie compatibil nedeterminat. Răspuns: nu există kk.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.