MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=2\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}. a) Scrieți matricea coeficienților AA și determinați A−1A^{-1} dacă există. b) Rezolvați sistemul folosind matricea inversă. c) Pentru ce valori ale parametrului mm sistemul {x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=m\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = m \end{cases} este compatibil?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Matricea coeficienților este A=(1112−1112−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}. Calculați det⁡(A)=1⋅((−1)(−1)−1⋅2)−1⋅(2⋅(−1)−1⋅1)+1⋅(2⋅2−(−1)⋅1)=1⋅(1−2)−1⋅(−2−1)+1⋅(4+1)=−1+3+5=7≠0\det(A) = 1 \cdot ((-1)(-1) - 1 \cdot 2) - 1 \cdot (2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) = 1 \cdot (1 - 2) - 1 \cdot (-2 - 1) + 1 \cdot (4 + 1) = -1 + 3 + 5 = 7 \neq 0, deci A−1A^{-1} există.
23 puncte
Calculați A−1A^{-1} folosind metoda adjunctei sau reducerea. A−1=17(−1323−215−1−3)A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \\ 5 & -1 & -3 \end{pmatrix} (verificați prin AA−1=I3A A^{-1} = I_3).
32 puncte
Sistemul se scrie A(xyz)=(632)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, deci soluția este (xyz)=A−1(632)=17(−1⋅6+3⋅3+2⋅23⋅6+(−2)⋅3+1⋅25⋅6+(−1)⋅3+(−3)⋅2)=17(−6+9+418−6+230−3−6)=17(71421)=(123)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -1 \cdot 6 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 6 + (-2) \cdot 3 + 1 \cdot 2 \\ 5 \cdot 6 + (-1) \cdot 3 + (-3) \cdot 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -6+9+4 \\ 18-6+2 \\ 30-3-6 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \\ 21 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
43 puncte
Pentru sistemul cu parametrul mm, matricea coeficienților este aceeași AA, cu det⁡(A)=7≠0\det(A) = 7 \neq 0, deci este inversabilă. Sistemul A(xyz)=(63m)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ m \end{pmatrix} are soluție unică (xyz)=A−1(63m)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ m \end{pmatrix} pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}. Astfel, sistemul este compatibil (are soluție) pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.