MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie z1,z2,z3,…z_1, z_2, z_3, \dots o progresie geometrică de numere complexe, astfel încât z1=2+3iz_1 = 2 + 3i și z3=−5+12iz_3 = -5 + 12i. Aflați toate valorile posibile pentru rația qq și suma S=z1+z2+z3+z4+z5S = z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem condiția pentru progresia geometrică: z2=qz1z_2 = q z_1 și z3=q2z1z_3 = q^2 z_1. Deci q2z1=z3q^2 z_1 = z_3.
24 puncte
Înlocuim valorile: q2(2+3i)=−5+12iq^2 (2 + 3i) = -5 + 12i. Rezolvăm ecuația pentru q2q^2: q2=−5+12i2+3iq^2 = \frac{-5 + 12i}{2 + 3i}. Calculăm conjugatul: q2=(−5+12i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=−10+15i+24i−36i24+9=−10+39i+3613=26+39i13=2+3iq^2 = \frac{(-5 + 12i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{-10 + 15i + 24i - 36i^2}{4 + 9} = \frac{-10 + 39i + 36}{13} = \frac{26 + 39i}{13} = 2 + 3i. Deci q2=2+3iq^2 = 2 + 3i. Găsim qq rezolvând q2=2+3iq^2 = 2 + 3i. Punem q=a+biq = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Atunci (a+bi)2=a2−b2+2abi=2+3i(a + bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi = 2 + 3i. Obținem sistemul: {a2−b2=22ab=3\begin{cases} a^2 - b^2 = 2 \\ 2ab = 3 \end{cases}. Rezolvăm: din 2ab=32ab=3, b=32ab = \frac{3}{2a}. Substituim în prima ecuație: a2−(32a)2=2  ⟹  a2−94a2=2a^2 - \left(\frac{3}{2a}\right)^2 = 2 \implies a^2 - \frac{9}{4a^2} = 2. Înmulțim cu 4a24a^2: 4a4−9=8a2  ⟹  4a4−8a2−9=04a^4 - 9 = 8a^2 \implies 4a^4 - 8a^2 - 9 = 0. Fie t=a2t = a^2, atunci 4t2−8t−9=04t^2 - 8t - 9 = 0. Discriminant: Δ=64+144=208\Delta = 64 + 144 = 208, t=8±2088=8±4138=1±132t = \frac{8 \pm \sqrt{208}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{13}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{13}}{2}. Deoarece t=a2≥0t = a^2 \geq 0, ambele soluții sunt pozitive. Găsim aa și apoi bb, deci qq are două valori posibile: q1=1+132+i321+132q_1 = \sqrt{1 + \frac{\sqrt{13}}{2}} + i\frac{3}{2\sqrt{1 + \frac{\sqrt{13}}{2}}} și q2=−1+132−i321+132q_2 = -\sqrt{1 + \frac{\sqrt{13}}{2}} - i\frac{3}{2\sqrt{1 + \frac{\sqrt{13}}{2}}} (sau forme echivalente).
33 puncte
Pentru fiecare qq, calculăm suma S=z1+z2+z3+z4+z5=z1(1+q+q2+q3+q4)S = z_1 + z_2 + z_3 + z_4 + z_5 = z_1 (1 + q + q^2 + q^3 + q^4). Folosim formula pentru suma unei progresii geometrice: S=z11−q51−qS = z_1 \frac{1 - q^5}{1 - q}, pentru q≠1q \neq 1. Pentru q2=2+3iq^2 = 2 + 3i, putem calcula q5=q⋅(q2)2=q⋅(2+3i)2=q⋅(4+12i+9i2)=q⋅(−5+12i)=q⋅z3/z1q^5 = q \cdot (q^2)^2 = q \cdot (2 + 3i)^2 = q \cdot (4 + 12i + 9i^2) = q \cdot (-5 + 12i) = q \cdot z_3 / z_1 (din enunț). În final, obținem două valori pentru SS, corespunzătoare celor două qq.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.