MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (cn)(c_n) o progresie geometrică cu termeni pozitivi. Dacă log⁡3(c1c2c3)=6\log_{3}(c_1 c_2 c_3) = 6 și c1+c2+c3=39c_1 + c_2 + c_3 = 39, determinați rația qq a progresiei.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm termenii: c1=ac_1 = a, c2=aqc_2 = a q, c3=aq2c_3 = a q^2, cu a>0a > 0 și q>0q > 0.
23 puncte
Din log⁡3(c1c2c3)=6\log_{3}(c_1 c_2 c_3) = 6, avem c1c2c3=36=729c_1 c_2 c_3 = 3^6 = 729. Așadar, a⋅aq⋅aq2=a3q3=729a \cdot a q \cdot a q^2 = a^3 q^3 = 729. Din c1+c2+c3=39c_1 + c_2 + c_3 = 39, avem a+aq+aq2=a(1+q+q2)=39a + a q + a q^2 = a(1 + q + q^2) = 39.
32 puncte
Din a3q3=729a^3 q^3 = 729, luând rădăcina cubică, obținem aq=9a q = 9. Exprimăm a=9qa = \frac{9}{q} și înlocuim în a(1+q+q2)=39a(1 + q + q^2) = 39: 9q(1+q+q2)=39\frac{9}{q} (1 + q + q^2) = 39.
42 puncte
Simplificăm: 9(1+q+q2)=39q9(1 + q + q^2) = 39 q, adică 9+9q+9q2=39q9 + 9q + 9q^2 = 39q, deci 9q2−30q+9=09q^2 - 30q + 9 = 0. Împărțind prin 3: 3q2−10q+3=03q^2 - 10q + 3 = 0. Rezolvăm: discriminantul Δ=100−36=64\Delta = 100 - 36 = 64, deci q=10±86q = \frac{10 \pm 8}{6}. Obținem q=3q = 3 sau q=13q = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.