MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameTrigonometrie
Fie z1,z2,z3,z4z_1, z_2, z_3, z_4 rădăcinile ecuației z4+z3+z2+z+1=0z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0. Să se calculeze suma S=z15+z25+z35+z45S = z_1^5 + z_2^5 + z_3^5 + z_4^5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că ecuația dată este z4+z3+z2+z+1=0z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0, care pentru z≠1z \neq 1 este echivalentă cu z5−1z−1=0\frac{z^5 - 1}{z - 1} = 0. Astfel, rădăcinile sunt rădăcinile de ordinul 5 ale unității, diferite de 1.
23 puncte
Fie ω=cos⁡2π5+isin⁡2π5\omega = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}. Atunci z1=ω,z2=ω2,z3=ω3,z4=ω4z_1 = \omega, z_2 = \omega^2, z_3 = \omega^3, z_4 = \omega^4.
34 puncte
Calculăm S=ω5+(ω2)5+(ω3)5+(ω4)5=1+1+1+1=4S = \omega^5 + (\omega^2)^5 + (\omega^3)^5 + (\omega^4)^5 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4, deoarece ω5=1\omega^5 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.