MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie progresia geometrică de numere complexe (zn)n≥1(z_n)_{n \geq 1}, cu zn=a⋅qn−1z_n = a \cdot q^{n-1}, unde a,q∈Ca, q \in \mathbb{C}. Dacă z1+z2+z3=1+iz_1 + z_2 + z_3 = 1 + i și z1⋅z2⋅z3=−8z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = -8, determinați aa și qq.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem termenii în funcție de aa și qq: z1=az_1 = a, z2=aqz_2 = a q, z3=aq2z_3 = a q^2.
23 puncte
Din condiția produsului, z1⋅z2⋅z3=a3q3=−8z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 = a^3 q^3 = -8, deci aq=−2a q = -2.
33 puncte
Din condiția sumei, a+aq+aq2=1+ia + a q + a q^2 = 1 + i. Folosind aq=−2a q = -2, obținem a−2+aq2=1+ia - 2 + a q^2 = 1 + i, iar aq2=(aq)q=−2qa q^2 = (a q) q = -2 q, deci a−2−2q=1+ia - 2 - 2 q = 1 + i, adică a−2q=3+ia - 2 q = 3 + i.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: aq=−2a q = -2 și a−2q=3+ia - 2 q = 3 + i. Din prima ecuație, q=−2/aq = -2/a. Înlocuim în a doua: a−2(−2/a)=3+ia - 2(-2/a) = 3 + i, deci a+4/a=3+ia + 4/a = 3 + i. Multiplicăm cu aa: a2−(3+i)a+4=0a^2 - (3+i)a + 4 = 0. Rezolvăm această ecuație pătratică în C\mathbb{C} pentru a găsi aa și apoi qq.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.