MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră numărul complex z∈Cz \in \mathbb{C} care verifică relația: ∣z∣=2|z| = 2 și z⋅z‾+z+z‾=5z \cdot \overline{z} + z + \overline{z} = 5. Calculați i2023⋅z2+z‾i^{2023} \cdot z^2 + \overline{z} și exprimați rezultatul în forma algebrică a+bia+bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinăm i2023i^{2023}. Se scrie 2023=4⋅505+32023 = 4 \cdot 505 + 3, deci i2023=i4⋅505+3=(i4)505⋅i3=1⋅i3=−ii^{2023} = i^{4 \cdot 505 + 3} = (i^4)^{505} \cdot i^3 = 1 \cdot i^3 = -i.
23 puncte
Folosim ∣z∣=2⇒z⋅z‾=∣z∣2=4|z| = 2 \Rightarrow z \cdot \overline{z} = |z|^2 = 4. Din ecuația z⋅z‾+z+z‾=5z \cdot \overline{z} + z + \overline{z} = 5, obținem 4+z+z‾=54 + z + \overline{z} = 5, deci z+z‾=1z + \overline{z} = 1. Notăm z=a+biz = a+bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Atunci z+z‾=2a=1z + \overline{z} = 2a = 1, deci a=12a = \frac{1}{2}. Din ∣z∣=2|z| = 2 avem a2+b2=2⇒a2+b2=4\sqrt{a^2+b^2} = 2 \Rightarrow a^2+b^2 = 4. Înlocuind a=12a = \frac{1}{2}, obținem 14+b2=4⇒b2=154⇒b=±152\frac{1}{4} + b^2 = 4 \Rightarrow b^2 = \frac{15}{4} \Rightarrow b = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}.
32 puncte
Calculăm z2=(a+bi)2=a2−b2+2abiz^2 = (a+bi)^2 = a^2-b^2 + 2abi. Pentru a=12a = \frac{1}{2} și b=±152b = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}, avem a2−b2=14−154=−144=−72a^2-b^2 = \frac{1}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2} și 2ab=2⋅12⋅(±152)=±1522ab = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\pm \frac{\sqrt{15}}{2}\right) = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}. Deci z2=−72±152iz^2 = -\frac{7}{2} \pm \frac{\sqrt{15}}{2}i.
42 puncte
Calculăm i2023⋅z2=−i⋅z2i^{2023} \cdot z^2 = -i \cdot z^2. Pentru z2=−72+152iz^2 = -\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}i, obținem −i⋅(−72+152i)=72i−152i2=72i+152-i \cdot \left(-\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}i\right) = \frac{7}{2}i - \frac{\sqrt{15}}{2}i^2 = \frac{7}{2}i + \frac{\sqrt{15}}{2}. Similar, pentru z2=−72−152iz^2 = -\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2}i, obținem −i⋅(−72−152i)=72i+152i2=72i−152-i \cdot \left(-\frac{7}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2}i\right) = \frac{7}{2}i + \frac{\sqrt{15}}{2}i^2 = \frac{7}{2}i - \frac{\sqrt{15}}{2}. Adică i2023⋅z2=152+72ii^{2023} \cdot z^2 = \frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{7}{2}i sau −152+72i\frac{-\sqrt{15}}{2} + \frac{7}{2}i.
51 punct
Avem z‾=a−bi=12∓152i\overline{z} = a - bi = \frac{1}{2} \mp \frac{\sqrt{15}}{2}i. Adunăm: i2023⋅z2+z‾i^{2023} \cdot z^2 + \overline{z}. Pentru prima variantă: (152+72i)+(12−152i)=15+12+7−152i\left(\frac{\sqrt{15}}{2} + \frac{7}{2}i\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{2}i\right) = \frac{\sqrt{15}+1}{2} + \frac{7-\sqrt{15}}{2}i. Pentru a doua variantă: (−152+72i)+(12+152i)=1−152+7+152i\left(\frac{-\sqrt{15}}{2} + \frac{7}{2}i\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}i\right) = \frac{1-\sqrt{15}}{2} + \frac{7+\sqrt{15}}{2}i. Rezultă două soluții: 1+152+7−152i\frac{1+\sqrt{15}}{2} + \frac{7-\sqrt{15}}{2}i sau 1−152+7+152i\frac{1-\sqrt{15}}{2} + \frac{7+\sqrt{15}}{2}i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.