MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve sistemul de ecuații trigonometrice: {sin⁡x+sin⁡y=1cos⁡x+cos⁡y=32\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} pentru x,y∈[0,2π]x, y \in [0, 2\pi].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim formulele pentru suma sinusurilor și cosinusurilor: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} și cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}.
24 puncte
Înlocuim în sistem: 2sin⁡x+y2cos⁡x−y2=12 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = 1 și 2cos⁡x+y2cos⁡x−y2=322 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Considerăm cos⁡x−y2≠0\cos\frac{x-y}{2} \neq 0 (cazul cos⁡x−y2=0\cos\frac{x-y}{2} = 0 se analizează separat dacă este necesar).
33 puncte
Împărțim cele două ecuații pentru a obține tan⁡x+y2=132=23\tan\frac{x+y}{2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}, deci x+y2=arctan⁡(23)+kπ\frac{x+y}{2} = \arctan\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. Apoi, din prima ecuație, cos⁡x−y2=12sin⁡x+y2\cos\frac{x-y}{2} = \frac{1}{2 \sin\frac{x+y}{2}}, și determinăm xx și yy în intervalul [0,2π][0, 2\pi] prin rezolvarea sistemului simplificat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.