MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere Complexe
Fie legea de compoziție ⊕\oplus definită pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} prin z⊕w=z+w+i⋅Im(z)⋅Im(w)z \oplus w = z + w + i \cdot \text{Im}(z) \cdot \text{Im}(w) pentru orice z,w∈Cz,w \in \mathbb{C}, unde Im(z)\text{Im}(z) este partea imaginară a lui zz. a) Verificați dacă legea ⊕\oplus este asociativă. b) Determinați dacă există un element neutru pentru ⊕\oplus. c) Studiați comutativitatea legii ⊕\oplus. d) Pentru z=a+biz = a+bi, găsiți condiția ca zz să fie inversabil în raport cu ⊕\oplus.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Pentru a verifica asociativitatea, se consideră z1=a1+b1iz_1 = a_1 + b_1 i, z2=a2+b2iz_2 = a_2 + b_2 i, z3=a3+b3iz_3 = a_3 + b_3 i. Se calculează (z1⊕z2)⊕z3(z_1 \oplus z_2) \oplus z_3 și z1⊕(z2⊕z3)z_1 \oplus (z_2 \oplus z_3). z1⊕z2=(a1+a2)+(b1+b2)i+ib1b2=(a1+a2)+(b1+b2+b1b2)iz_1 \oplus z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i + i b_1 b_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2 + b_1 b_2)i. Apoi, (z1⊕z2)⊕z3=[(a1+a2)+(b1+b2+b1b2)i]⊕(a3+b3i)=(a1+a2+a3)+[b1+b2+b1b2+b3+(b1+b2+b1b2)b3]i=(a1+a2+a3)+[b1+b2+b1b2+b3+b1b3+b2b3+b1b2b3]i(z_1 \oplus z_2) \oplus z_3 = [(a_1 + a_2) + (b_1 + b_2 + b_1 b_2)i] \oplus (a_3 + b_3 i) = (a_1 + a_2 + a_3) + [b_1 + b_2 + b_1 b_2 + b_3 + (b_1 + b_2 + b_1 b_2)b_3]i = (a_1 + a_2 + a_3) + [b_1 + b_2 + b_1 b_2 + b_3 + b_1 b_3 + b_2 b_3 + b_1 b_2 b_3]i. z1⊕(z2⊕z3)=(a1+b1i)⊕[(a2+a3)+(b2+b3+b2b3)i]=(a1+a2+a3)+[b1+b2+b3+b2b3+b1(b2+b3+b2b3)]i=(a1+a2+a3)+[b1+b2+b3+b2b3+b1b2+b1b3+b1b2b3]iz_1 \oplus (z_2 \oplus z_3) = (a_1 + b_1 i) \oplus [(a_2 + a_3) + (b_2 + b_3 + b_2 b_3)i] = (a_1 + a_2 + a_3) + [b_1 + b_2 + b_3 + b_2 b_3 + b_1(b_2 + b_3 + b_2 b_3)]i = (a_1 + a_2 + a_3) + [b_1 + b_2 + b_3 + b_2 b_3 + b_1 b_2 + b_1 b_3 + b_1 b_2 b_3]i. Părțile imaginare sunt egale, deci legea este asociativă.
23 puncte
Elementul neutru e=x+yie = x+yi trebuie să satisfacă z⊕e=zz \oplus e = z pentru orice z=a+biz=a+bi. z⊕e=(a+bi)+(x+yi)+iby=(a+x)+(b+y+by)iz \oplus e = (a+bi) + (x+yi) + i b y = (a+x) + (b+y + b y)i. Pentru egalitate cu a+bia+bi, avem a+x=a⇒x=0a+x = a \Rightarrow x=0 și b+y+by=b⇒y+by=0⇒y(1+b)=0b+y+by = b \Rightarrow y+by=0 \Rightarrow y(1+b)=0 pentru orice bb, deci y=0y=0. Astfel, e=0e=0. Verificare: z⊕0=z+0+ib⋅0=zz \oplus 0 = z + 0 + i b \cdot 0 = z.
32 puncte
Comutativitatea: z⊕w=z+w+iIm(z)Im(w)=w+z+iIm(w)Im(z)=w⊕zz \oplus w = z + w + i \text{Im}(z) \text{Im}(w) = w + z + i \text{Im}(w) \text{Im}(z) = w \oplus z, deci legea este comutativă.
42 puncte
Pentru z=a+biz=a+bi să fie inversabil, trebuie să existe w=c+diw=c+di astfel încât z⊕w=0z \oplus w = 0. z⊕w=(a+c)+(b+d+bd)i=0z \oplus w = (a+c) + (b+d + b d)i = 0, deci a+c=0a+c=0 și b+d+bd=0b+d+bd=0. Din a+c=0a+c=0, c=−ac=-a. Din b+d+bd=0b+d+bd=0, d(1+b)=−b⇒d=−b1+bd(1+b) = -b \Rightarrow d = \frac{-b}{1+b} pentru b≠−1b \neq -1. Pentru b=−1b=-1, ecuația devine −1+d+(−1)d=−1-1+d+(-1)d = -1, imposibil. Condiția este b≠−1b \neq -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.