MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteDerivate
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e2xf(x) = e^{2x}. Calculați ∫01f(x) dx\int_{0}^{1} f(x) \, dx și determinați punctul (abscisa) în care tangenta la graficul funcției în acel punct este paralelă cu dreapta care trece prin punctele (0,f(0))(0, f(0)) și (1,f(1))(1, f(1)).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se calculează integrala definită: ∫01e2x dx=[12e2x]01=12(e2−1)\int_{0}^{1} e^{2x} \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(e^{2} - 1).
23 puncte
Se determină panta dreptei prin punctele (0,f(0))(0, f(0)) și (1,f(1))(1, f(1)): f(0)=1f(0)=1, f(1)=e2f(1)=e^{2}, deci panta m=e2−11−0=e2−1m = \frac{e^{2} - 1}{1 - 0} = e^{2} - 1.
33 puncte
Derivata funcției este f′(x)=2e2xf'(x) = 2e^{2x}. Se rezolvă ecuația f′(x)=mf'(x) = m: 2e2x=e2−1⇒e2x=e2−12⇒2x=ln⁡(e2−12)⇒x=12ln⁡(e2−12)2e^{2x} = e^{2} - 1 \Rightarrow e^{2x} = \frac{e^{2} - 1}{2} \Rightarrow 2x = \ln\left(\frac{e^{2} - 1}{2}\right) \Rightarrow x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{e^{2} - 1}{2}\right). Acesta este punctul căutat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.