MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABC, laturile satisfac relația asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R. Dacă a=6a = 6, b=8b = 8 și sin⁡C=45\sin C = \frac{4}{5}, calculați raza R a cercului circumscris, aria triunghiului și determinați natura triunghiului (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosiți legea sinusurilor pentru a găsi sin⁡A\sin A și sin⁡B\sin B. Din asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} și sin⁡C=45\sin C = \frac{4}{5}, obțineți sin⁡A=asin⁡Cc\sin A = \frac{a \sin C}{c} și sin⁡B=bsin⁡Cc\sin B = \frac{b \sin C}{c}, dar mai întâi calculați cc din legea cosinusurilor sau direct: c=asin⁡Asin⁡Cc = \frac{a}{\sin A} \sin C, dar se poate folosi sin⁡A=a2R\sin A = \frac{a}{2R} etc.
23 puncte
Calculați R din 2R=asin⁡A2R = \frac{a}{\sin A} sau 2R=csin⁡C2R = \frac{c}{\sin C}. Folosiți sin⁡C=45\sin C = \frac{4}{5} și găsiți cc din teorema cosinusurilor: c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C, cu cos⁡C=1−sin⁡2C=35\cos C = \sqrt{1 - \sin^2 C} = \frac{3}{5} (presupunând unghi ascuțit), deci c=10c = 10. Atunci 2R=csin⁡C=104/5=12.52R = \frac{c}{\sin C} = \frac{10}{4/5} = 12.5, deci R=6.25R = 6.25.
32 puncte
Calculați aria triunghiului folosind formula S=12absin⁡C=12⋅6⋅8⋅45=19.2S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{4}{5} = 19.2.
42 puncte
Determinați natura triunghiului verificând unghiurile. Din cos⁡C=35>0\cos C = \frac{3}{5} > 0, unghiul C este ascuțit. Calculați cos⁡A\cos A și cos⁡B\cos B din teorema cosinusurilor sau folosiți sin⁡A\sin A și sin⁡B\sin B pentru a vedea semnele; de exemplu, cos⁡A=b2+c2−a22bc=64+100−36160=128160=0.8>0\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{64 + 100 - 36}{160} = \frac{128}{160} = 0.8 > 0, deci toate unghiurile sunt ascuțite, triunghiul este ascuțitunghic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.