MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Pe mulțimea numerelor reale R\mathbb{R}, se definește legea de compoziție x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y. a) Arătați că legea este asociativă. b) Determinați elementul neutru al acestei legi. c) Pentru un element a∈Ra \in \mathbb{R}, aflați inversul lui aa în raport cu legea ∗*, dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea. Pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}, calculăm (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z) și arătăm că sunt egale. (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z. x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Se observă că ambele expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. x∗e=xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0x * e = xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x + 1) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e = 0. Verificăm: x∗0=x⋅0+x+0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x, deci e=0e = 0 este elementul neutru.
34 puncte
Pentru a∈Ra \in \mathbb{R}, căutăm a′a' astfel încât a∗a′=0a * a' = 0. a∗a′=aa′+a+a′=0⇒a′(a+1)=−aa * a' = aa' + a + a' = 0 \Rightarrow a'(a + 1) = -a. Dacă a≠−1a \neq -1, atunci a′=−aa+1a' = \frac{-a}{a+1}. Dacă a=−1a = -1, ecuația devine −1∗a′=0⇒−a′−1+a′=0⇒−1=0-1 * a' = 0 \Rightarrow -a' -1 + a' = 0 \Rightarrow -1 = 0, imposibil, deci a=−1a = -1 nu are invers. Astfel, inversul lui aa este −aa+1\frac{-a}{a+1} pentru a≠−1a \neq -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.