MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+4f(x) = x^3 - 3x^2 + 4. a) Calculați derivata funcției ff. b) Determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff. c) Arătați că ecuația f(x)=mf(x) = m are trei soluții reale distincte pentru orice m∈(0,4)m \in (0,4).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Derivata funcției: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x. \n
24 puncte
Determinarea monotoniei: Se rezolvă f′(x)=0⇒3x(x−2)=0⇒x=0f'(x)=0 \Rightarrow 3x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2. Se studiază semnul derivatei: pe (−∞,0)(-\infty,0), f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare); pe (0,2)(0,2), f′(x)<0f'(x)<0 (funcția descrescătoare); pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)>0f'(x)>0 (funcția crescătoare). Puncte de extrem: maxim local la x=0x=0, f(0)=4f(0)=4; minim local la x=2x=2, f(2)=0f(2)=0. \n
33 puncte
Pentru m∈(0,4)m \in (0,4), folosim teorema valorii intermediare și monotonia. Funcția este continuă, f(0)=4f(0)=4, f(2)=0f(2)=0. Pe (−∞,0)(-\infty,0) funcția crește de la −∞-\infty la 44, deci există un unic x1<0x_1<0 cu f(x1)=mf(x_1)=m. Pe (0,2)(0,2) funcția scade de la 44 la 00, deci există un unic x2∈(0,2)x_2 \in (0,2) cu f(x2)=mf(x_2)=m. Pe (2,∞)(2,\infty) funcția crește de la 00 la ∞\infty, deci există un unic x3>2x_3>2 cu f(x3)=mf(x_3)=m. Astfel, există trei soluții distincte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.