MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveArii și volume
Fie funcția f:[0,2]→Rf: [0,2] \to \mathbb{R}, f(x)=∫0x(t3−3t+2)dtf(x) = \int_{0}^{x} (t^3 - 3t + 2) dt. Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați f(x)f(x) integrând: f(x)=[t44−3t22+2t]0x=x44−3x22+2xf(x) = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + 2t \right]_{0}^{x} = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x.
23 puncte
Verificați că f(x)≥0f(x) \geq 0 pentru x∈[0,2]x \in [0,2]; de exemplu, f(0)=0f(0)=0, f(1)=14−32+2=0.75>0f(1)=\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 = 0.75 > 0, f(2)=4−6+4=2>0f(2)=4 - 6 + 4=2 > 0, deci aria este ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx.
34 puncte
Calculați aria: ∫02f(x)dx=∫02(x44−3x22+2x)dx=[x520−x32+x2]02=3220−82+4=85−4+4=85\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right) dx = \left[ \frac{x^5}{20} - \frac{x^3}{2} + x^2 \right]_{0}^{2} = \frac{32}{20} - \frac{8}{2} + 4 = \frac{8}{5} - 4 + 4 = \frac{8}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.