MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie matricea C=(01−10)C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați C2C^2 și C4C^4. b) Demonstrați prin inducție matematică că C2n=(−1)nI2C^{2n} = (-1)^n I_2 pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}. c) Determinați toate matricele X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} cu elemente reale care satisfac XC=CXXC = CX.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
C2=(01−10)(01−10)=(−100−1)=−I2C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I_2. C4=(C2)2=(−I2)2=I2C^4 = (C^2)^2 = (-I_2)^2 = I_2.
24 puncte
Pentru n=1n=1, C2=−I2=(−1)1I2C^{2} = -I_2 = (-1)^1 I_2, adevărat. Presupunem că pentru n=kn=k, C2k=(−1)kI2C^{2k} = (-1)^k I_2. Atunci pentru n=k+1n=k+1, C2(k+1)=C2k+2=C2kC2=(−1)kI2⋅(−I2)=(−1)k⋅(−1)I2=(−1)k+1I2C^{2(k+1)} = C^{2k+2} = C^{2k} C^2 = (-1)^k I_2 \cdot (-I_2) = (-1)^k \cdot (-1) I_2 = (-1)^{k+1} I_2. Prin inducție, proprietatea este adevărată.
34 puncte
Fie X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. XC=(abcd)(01−10)=(−ba−dc)XC = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b & a \\ -d & c \end{pmatrix}, CX=(01−10)(abcd)=(cd−a−b)CX = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ -a & -b \end{pmatrix}. Egalând, obținem −b=c-b = c, a=da = d, −d=−a-d = -a (echivalent cu a=da=d), c=−bc = -b. Deci a=da=d și c=−bc=-b. Matricele sunt de forma X=(ab−ba)X = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.